024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM TOÁN PHỔ THÔNG » Trung học phổ thông » 

Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12018
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có thể nghĩ tới phương pháp quy nạp. Cụ thể như sau:
 Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

Xét mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n. Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ≥ $n_{0}$ ($n_{0}$ là số tự nhiên cho trước) thì ta thực hiện theo các bước dưới đây:
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = $n_{0}$.
Bước 2: Giả sử P(n) đúng tới n = k, (k ≥ $n_{0}$)
Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi n = k + 1.
Kết luận: Theo nguyên lí quy nạp toán học, bài toán được chứng minh.

Từ lập luận trên có thể hiểu nôm na thế này: khi n bé, ta dễ dàng kiểm tra được mệnh đề đúng, giả sử tới n = 5 chẳng hạn, khi đó theo cách làm trên sẽ khẳng định được n = 6 cũng đúng, n = 6 đúng thì kéo theo n = 7 cũng đúng… cứ mãi như vậy, nghĩa là đúng với mọi số nguyên dương n!
Nói như thế nhưng không phải “Quy nạp toán học” là công cụ đa năng, có thể giải được tất cả các bài toán liên quan đến điều kiện “đúng với mọi n” mà nó cũng chỉ là một trong những phương pháp giải toán, được sử dụng trong một số bài toán nhất định. 
Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ sau để hiểu rõ hơn cách thực hiện. 

Bài toán 1 [Đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN – ĐHQGHN 1996]
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có A(n) = $n^{3} + 5n$ chia hết cho 6.

Bài toán 2 [Đề thi Olympic lớp 8 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2018 – 2019]
Cho $S_{n} = 2^{3n+1} + 2^{3n-11} + 1$, với n là số nguyên dương. 
Chứng minh rằng $S_{n}$ luôn chia hết cho 7.

Bài toán 3 [Đề thi VMO năm 2010 – 2011]
Cho x là số thực dương và n là số nguyên dương. 
Chứng minh bất đẳng thức $\frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1} \le (\frac{x+1}{2})^{2n+1}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài toán 4: 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có bất đẳng thức:
$S_{n}$ = $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$.

Bài toán 5 [USAMTS 2000-2001, Cuộc thi chọn tài năng Toán học Mỹ]
Hãy tìm số dư khi chia $1776^{1492!}$ cho  2000 .

Bài toán 6:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, S(n)  = (n + 1)(n + 2) ... (n + n)  chia hết cho 2n.
Nhận xét: Riêng đối với bài tập này, ngoài quy nạp HS có thể sử dụng công thức De' Polignac cũng cho kết quả nhanh chóng, gọn gàng:
Lũy thừa (e) của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n! được xác định bởi:
e = $\left[ \frac{n}{p} \right]+\left[ \frac{n}{p^2} \right]+\left[ \frac{n}{p^3} \right]$+...

 Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại và gửi tới các em học sinh tài liệu để...
2.809 Lượt xem
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Tiếp tuyến của đường tròn được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và không thể thiếu trong các đề thi tuyển sinh vào lớp...
12.770 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu...
12.565 Lượt xem
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Trực tâm tam giác là kiến thức hình học cơ bản đã được đưa vào chương trình trung học cơ sở. Có rất nhiều bài toán hay và khó liên quan đến tính chất...
12.621 Lượt xem
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Trong chương trình toán học phổ thông, nếu như lớp 6 là sự khởi đầu với những nốt nhạc cơ bản(điểm, đoạn thẳng, góc...) thì từ lớp 7 là sự bùng nổ, sự...
12.077 Lượt xem
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có...
12.018 Lượt xem
Chứng minh bài toán  bằng phương pháp loại trừ
Chứng minh bài toán bằng phương pháp loại trừ
Đây là phương pháp người ta dựa vào các yếu tố nêu trong đề bài để suy luận, dẫn dắt và loại trừ các khả năng, qua đó tìm ra được...
12.005 Lượt xem
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA  trong chứng minh toán học
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA trong chứng minh toán học
Trong thực tế khi làm Toán chúng ta gặp nhiều bài tập số ẩn lớn, giá trị lớn, số bước thực hiện lớn…mà chưa thể tìm được cách giải ngay, chưa hình...
12.052 Lượt xem
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Chương trình lớp 8 là một trong những trọng tâm của Toán trung học cơ sở bởi nó có nhiều dạng toán hay và khó. Dưới đây là một dạng bài toán như vậy,...
12.176 Lượt xem
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở...
12.151 Lượt xem