Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có thể nghĩ tới phương pháp quy nạp. Cụ thể như sau:
Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về
TẠI ĐÂY.
Xét mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n. Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ≥ $n_{0}$ ($n_{0}$ là số tự nhiên cho trước) thì ta thực hiện theo các bước dưới đây:
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = $n_{0}$.
Bước 2: Giả sử P(n) đúng tới n = k, (k ≥ $n_{0}$)
Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi n = k + 1.
Kết luận: Theo nguyên lí quy nạp toán học, bài toán được chứng minh.
Từ lập luận trên có thể hiểu nôm na thế này: khi n bé, ta dễ dàng kiểm tra được mệnh đề đúng, giả sử tới n = 5 chẳng hạn, khi đó theo cách làm trên sẽ khẳng định được n = 6 cũng đúng, n = 6 đúng thì kéo theo n = 7 cũng đúng… cứ mãi như vậy, nghĩa là đúng với mọi số nguyên dương n!
Nói như thế nhưng không phải “Quy nạp toán học” là công cụ đa năng, có thể giải được tất cả các bài toán liên quan đến điều kiện “đúng với mọi n” mà nó cũng chỉ là một trong những phương pháp giải toán, được sử dụng trong một số bài toán nhất định.
Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ sau để hiểu rõ hơn cách thực hiện.
Bài toán 1 [Đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN – ĐHQGHN 1996]
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có A(n) = $n^{3} + 5n$ chia hết cho 6.
Bài toán 2 [Đề thi Olympic lớp 8 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2018 – 2019]
Cho $S_{n} = 2^{3n+1} + 2^{3n-11} + 1$, với n là số nguyên dương.
Chứng minh rằng $S_{n}$ luôn chia hết cho 7.
Bài toán 3 [Đề thi VMO năm 2010 – 2011]
Cho x là số thực dương và n là số nguyên dương.
Chứng minh bất đẳng thức $\frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1} \le (\frac{x+1}{2})^{2n+1}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài toán 4:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có bất đẳng thức:
$S_{n}$ = $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$.
Bài toán 5 [USAMTS 2000-2001, Cuộc thi chọn tài năng Toán học Mỹ]
Hãy tìm số dư khi chia $1776^{1492!}$ cho 2000 .
Bài toán 6:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, S(n) = (n + 1)(n + 2) ... (n + n) chia hết cho 2n.
Nhận xét: Riêng đối với bài tập này, ngoài quy nạp HS có thể sử dụng công thức De' Polignac cũng cho kết quả nhanh chóng, gọn gàng:
Lũy thừa (e) của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n! được xác định bởi:
e = $\left[ \frac{n}{p} \right]+\left[ \frac{n}{p^2} \right]+\left[ \frac{n}{p^3} \right]$+...
Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về
TẠI ĐÂY.
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam