024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM TOÁN PHỔ THÔNG » Trung học cơ sở » 

Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12651
Trực tâm tam giác là kiến thức hình học cơ bản đã được đưa vào chương trình trung học cơ sở. Có rất nhiều bài toán hay và khó liên quan đến tính chất này trong các kỳ thi HSG hay thi vào các trường chuyên, lớp chọn cũng như các kỳ thi toán khác.
Bài toán cơ bản:
Cho △ABC nội tiếp trong đường tròn (O) với trọng tâm G. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. 
Gọi I, M lần lượt là trung điểm của AH và BC, N và P lần lượt là giao điểm của AD, AO với (O). Chứng minh rằng:
a) AE.AC = AF.AB và △AEF  $\sim$ △ABC
b) DA là phân giác của góc EDF
c) D là trung điểm của HN
d) OM = 1/2AH và H, G, O thẳng hàng(đường thẳng Euler)
e) OA $\bot$ EF, MI $\bot$ EF, ME $\bot$ EI
f) H, M, P thẳng hàng và tứ giác BCPN là hình thang cân
Lưu ý: đối với các HS lớp 7-8 người ta thường ra đề dưới dạng O là giao điểm 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác ABC.
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Lời giải:
a. Đối với các bạn HS lớp 9 hoặc cao hơn thì khá đơn giản: Do BCEF là tứ giác nội tiếp. Khi đó $\angle ABC$ = $\angle AEF$ suy ra △AEF  $\sim$ △ABC(g.g) và AFB, AEC là 2 cát tuyến nên AE.AC = AF.AB.
Đối với HS lớp 8 chúng ta làm như sau:
Xét 2 tam giác △ABE và △ACF có góc A chung,  $\angle ABE$ = $\angle ACF$(cùng phụ với $\angle BAC$) suy ra △ABE $\sim$ △ACF $\Rightarrow \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC}$ $\Rightarrow$ AE.AC = AF.AB.
Xét 2 tam giác △AEF  và △ABC có góc A chung, từ $\frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$. Do đó △AEF  $\sim$ △ABC(c.g.c).
b. Với các bạn lớp 9 hoặc hơn có thể dùng tứ giác nội tiếp.
Với các bạn lớp 8, sử dụng lại kết quả đã chứng minh ở phần a. ta được:
△BDF  $\sim$ △BAC $\Rightarrow$ $\angle BDF$ = $\angle BAC$, tương tự $\angle CDE = \angle CAB$ $\Rightarrow \angle ADF = \angle ADE$ hay DA là phân giác của góc EDF.
c. Do ABDE là tứ giác nội tiếp nên $\angle DBH = \angle HAC$, mà $\angle HAC = \angle DBN$(cùng chắn cung NPC)  $\Rightarrow  \angle DBH = \angle DBN$.
Khi đó tam giác BHN có BD vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên nó cũng là đường trung tuyến. Nghĩa là D là trung điểm của HN.
d. Trước hết ta chứng minh H, M, P thẳng hàng.
Thật vậy, do AP là đường kính của (O) nên $PC $\bot$ AC \Rightarrow$ PC//BH, tương tự BP//HC do đó tứ giác BHCP là hình bình hành $\Rightarrow$ HP đi qua trung điểm của BC hay H, M, P thẳng hàng.
Khi đó OM chính là đường trung bình của tam giác PAH $\Rightarrow$ OM = 1/2AH.
Gọi G' là giao điểm của HO và AM. Sử dụng hệ quả định lý Talet ta có: $\frac{OM}{AH} = \frac{MG'}{G'A} = \frac{1}{2} \Rightarrow$ G' là trọng tâm của tam giác ABC nghĩa là G' $\equiv$ G, hay  H, G, O thẳng hàng.
e. Chứng minh như câu c. ta thu được E và F lần lượt là trung điểm của HQ và HR, suy ra AR = AQ(cùng bằng AH) $\Rightarrow$ OA $\bot$ RQ. EF là đường trung bình của tam giác HQR nên EF//QR $\Rightarrow$  OA $\bot$ EF.
Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ta có: IE = IF(cùng bằng 1/2AH), ME = MF. Từ đó $\Rightarrow$ △MEI = △MFI $\Rightarrow$ MI là phân giác của góc FIE $\Rightarrow$ MI $\bot$ EF.
Ta cũng có $\angle IEH + \angle MEH$ = $\angle IHE + \angle EBM$ = $\angle BHD + \angle HBD$ = $90^{0}$ hay ME $\bot$ EI.
f. Dễ nhận thấy NP//BC(cùng vuông góc với AD) $\Rightarrow$ BCPN là hình thang.
Theo phần trên ta đã chỉ ra được HBPC là hình bình hành nên $\angle HCB = \angle CBP$, mà $\angle HCB = \angle BAN$ $\Rightarrow \angle BAN = \angle CBP \Rightarrow$ BN = CP.
Do đó BCPN là hình thang cân.
Đến đây bài toán được chứng minh hoàn toàn!

Dưới đây là các bài toán được phát triển hoặc sử dụng lại những kiến thức trong bài toán cơ bản nêu trên:
Bài toán 1:
Cho △ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi P, Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC. Chứng minh 4  điểm P, F, E, Q thẳng hàng.

Bài toán 2:
Cho tam giác ABC, với trực tâm H. AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K khác A. BH cắt AC tại I, CH cắt AB tại J. KI cắt đường tròn (ABC) tại E khác K. BE cắt IJ tại M. 
Chứng minh rằng MI = MJ.

Bài toán 3:
Cho tam giác ABC  nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.
a) CMR AEFH là tứ giác nội tiếp
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFH, tính số đo cung EFH. Tính diện tích hình quạt IEHF biết AH = 4cm và góc BAC = $60^{0}$.
c) Đặt AH cắt BC tại D, chứng minh FH là phân giác của góc DFE
d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) và AH đồng quy.

Bài toán 4:
Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm ( O) đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại E và D . Hai đường thẳng BD, CE cắt nhau tại H, AH cắt BC tại F, K là trung điểm AH. Chứng minh rằng: 
a) AH vuông góc với BC
b) HF.AF = FB.FC
c) Tứ giác O , E, K ,D cùng thuộc một đường tròn.

Bài toán 5:
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cùng đi qua trực tâm H.
a) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O).
Chứng minh: tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC và AB.AC = 2AD.R.
c) Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên AK. Chứng minh: MD song song với BK.
d) Giả sử BC là dây cố định của đường tròn (O) còn A di động trên cung lớn BC. Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác AEH lớn nhất.
e) Giả sử BC là dây cố định của đường tròn (O) còn A di động trên cung lớn BC. Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác AEF lớn nhất.

Bài toán 6:
Cho tam giác nhọn ABC. H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm và ba đường trung trực của tam giác .Chứng minh: O, G, H thẳng hàng.

Bài toán 7:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 
a) Tứ giác CEHD, nội tiếp .
b) Tứ giác NP // EF .
b) Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
d) H và M đối xứng nhau qua BC.
e) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài toán 8:
Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp đường tròn O. Hai đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt đường tròn O lần lượt tại K và I.
a) Chứng minh EF // IK.
b) IK cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh OA ⊥ PQ
c) Tia AO cắt (O) tại D, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
d) Chứng minh BD.AC + CD.AB = AD.BC.

Bài toán 9:
Cho đường tròn (O) cố định và tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt ở D’ và E’. Chứng minh rằng: 
a) Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp và DE // D’E’
b) OA vuông góc với DE
c) Cho các điểm B và C cố định. Chứng minh rằng khi A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi.


Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại và gửi tới các em học sinh tài liệu để...
2.849 Lượt xem
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Tiếp tuyến của đường tròn được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và không thể thiếu trong các đề thi tuyển sinh vào lớp...
12.803 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu...
12.591 Lượt xem
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Trực tâm tam giác là kiến thức hình học cơ bản đã được đưa vào chương trình trung học cơ sở. Có rất nhiều bài toán hay và khó liên quan đến tính chất...
12.651 Lượt xem
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Trong chương trình toán học phổ thông, nếu như lớp 6 là sự khởi đầu với những nốt nhạc cơ bản(điểm, đoạn thẳng, góc...) thì từ lớp 7 là sự bùng nổ, sự...
12.097 Lượt xem
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có...
12.038 Lượt xem
Chứng minh bài toán  bằng phương pháp loại trừ
Chứng minh bài toán bằng phương pháp loại trừ
Đây là phương pháp người ta dựa vào các yếu tố nêu trong đề bài để suy luận, dẫn dắt và loại trừ các khả năng, qua đó tìm ra được...
12.025 Lượt xem
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA  trong chứng minh toán học
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA trong chứng minh toán học
Trong thực tế khi làm Toán chúng ta gặp nhiều bài tập số ẩn lớn, giá trị lớn, số bước thực hiện lớn…mà chưa thể tìm được cách giải ngay, chưa hình...
12.079 Lượt xem
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Chương trình lớp 8 là một trong những trọng tâm của Toán trung học cơ sở bởi nó có nhiều dạng toán hay và khó. Dưới đây là một dạng bài toán như vậy,...
12.206 Lượt xem
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở...
12.191 Lượt xem