024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM TOÁN PHỔ THÔNG » Trung học cơ sở » 

Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12097
Trong chương trình toán học phổ thông, nếu như lớp 6 là sự khởi đầu với những nốt nhạc cơ bản(điểm, đoạn thẳng, góc...) thì từ lớp 7 là sự bùng nổ, sự tiếp nối để viết nên một bản trường ca hùng tráng mà ở đó học sinh có rất nhiều đất diễn và giúp các bạn thấy được vẻ đẹp của toán học tìm thấy ở khắp mọi nơi, trong học tập cũng như trong đời sống thực tiễn.
Trước hết chúng ta xem xét bài toán đơn giản sau:
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC có I là giao điểm 3 đường phân giác trong. 
Chứng minh rằng các tam giác AIB, BIC và CIA đều là các tam giác tù.
Lời giải:

Xét tam giác BIC chẳng hạn: $\angle CIB$ = $180^0 - \angle ICB- \angle IBC$ = $180^0 - \left( \frac{\angle B}{2}+ \frac{\angle C}{2}\right)$ = $180^0 - \left( \frac{180^0 - \angle A}{2}\right)$ = $90^0 + \frac{ \angle A}{2} > 90^0$  $\Rightarrow$ $\Delta$BIC là tam giác tù.
Đối với $\Delta$AIB và $\Delta$CIA ta cũng chứng minh hòa toàn tương tự.

Bài toán 2:[Đề thi OLYMPIC toán lớp 7 quận Hoàng Mai - Hà nội, năm học 2017-2018]
Cho tam giác ABC(AB < AC) có 3 góc nhọn, đường trung tuyến AM. Gọi O là giao điểm 3 đường trung trực, H là trực tâm của tam giác ABC. Trên tia đối của toa AO lấy điểm D sao cho DO=AO.
1. Chứng minh tam giác AMC tù, từ đó suy ra 2AC > BC
2. Chứng minh tam giác ACD vuông
3. Chứng minh 3 điểm H, M, D thẳng hàng.
Lời giải:
1. Đối với học sinh THPT có lẽ đây là bài tập không khó, thật vậy:
Đặt AB = c; BC = a; CA = b ta có ngay c < b.
Sử dụng định lý làm số cosin đối với tam giác AMC: cos$\angle AMC$ = $\frac{AM^{2}+MC^{2}-AC^{2}}{2.AM.MC}$ (1)
Do AM là đường trung tuyến nên $AM^{2}$ = $\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}$
Thay vào (1), biến đổi và rút gọn ta thu được:
cos$\angle AMC$ =  $\frac{c^{2}-b^{2}}{4AM.MC}$ < 0.
Suy ra $\angle AMC$ > $90^{0}$, đồng nghĩa với tam giác AMC tù.
Đối với các bạn lớp 7, cần phải vẽ thêm hình cũng như sử dụng thành thạo kiến thức tam giác bằng nhau cơ bản, cụ thể như sau:
Theo giả thiết ta đã có $\angle ABM$ > $\angle ACM$ (*)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm A' sao cho MA = MA'.
Xét 2 tam giác MAB và MA'C có MB = MC; MA = MA' và $\angle AMC$  = $\angle A'MB$ 
suy ra $\Delta$MAB = $\Delta$MA'C(c.g.c) $\Rightarrow$ AC = BA'.
$\Rightarrow$ AB < BA' $\Rightarrow$ $\angle BAA'$ > $\angle BA'A$ hay $\angle BAM$ > $\angle MAC$ (**)
Mặt khác $\angle AMB$ = $180^0$ - $\angle ABM - \angle BAM$, $\angle AMC$ = $180^0$ - $\angle ACM - \angle MAC$. 
Kết hợp với (*) và (**) $\Rightarrow$ $\angle AMB$ < $\angle AMC$
mà  $\angle AMB$ + $\angle AMC$ = $180^0$, suy ra $\angle AMC$ > $90^{0}$. 
Nghĩa là tam giác AMC tù. Khi đó $\angle AMC$ cũng là góc lớn nhất $\Rightarrow$ AC > MC = $\frac{BC}{2}$, hay 2AC > BC. 
Bài toán được chứng minh!
Học sinh cũng có thể dùng mối quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu để giải bài toán này như sau:
Gọi E là giao điểm của AH và BC, vì AB < AC nên BE < EC. Do M là trung điểm của BC nên M phải nằm giữa E và C. Khi đó xét tam giác vuông AME ta thấy $\angle AME < 90^0$ suy ra $\angle AMC$ > $90^{0}$.

2. Vì O là trung điểm của AD nên OA = OD. Mặt khác O nằm trên đường trung trực của AC nên OA = OC. Từ đó OC = OA = OB $\Rightarrow$ OC = $\frac{AD}{2}$  $\Rightarrow$ $\Delta$ACD vuông tại C.

3. Từ kết quả chứng minh của phần 2. ta được DC $\bot$ AC, do H là trực tâm nên BH $\bot$ AC
Suy ra BH // DC.
Bằng cách tương tự ta cũng chỉ ra được CH//BD. Gọi giao điểm của BC và HD là M'. Khi đó 2 tam giác $\Delta$CHD = $\Delta$BDH(g.c.g) $\Rightarrow$ CH = BD.
Xét 2 tam giác HM'C và DM'B có:
CH = BD; $\angle M'HC$ = $\angle M'DB$ và $\angle M'CH$ = $\angle M'BD$(so le trong)
 $\Rightarrow$ $\Delta$HM'C = $\Delta$DM'B, suy ra M'B = M'C hay M' $\equiv$ M, đồng nghĩa với  3 điểm H, M, D thẳng hàng. 
Đến đây bài toán được chứng minh hoàn toàn!

Bài toán 3:
Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.


Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại và gửi tới các em học sinh tài liệu để...
2.848 Lượt xem
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Tiếp tuyến của đường tròn được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và không thể thiếu trong các đề thi tuyển sinh vào lớp...
12.802 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu...
12.591 Lượt xem
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Trực tâm tam giác là kiến thức hình học cơ bản đã được đưa vào chương trình trung học cơ sở. Có rất nhiều bài toán hay và khó liên quan đến tính chất...
12.650 Lượt xem
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Trong chương trình toán học phổ thông, nếu như lớp 6 là sự khởi đầu với những nốt nhạc cơ bản(điểm, đoạn thẳng, góc...) thì từ lớp 7 là sự bùng nổ, sự...
12.097 Lượt xem
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có...
12.037 Lượt xem
Chứng minh bài toán  bằng phương pháp loại trừ
Chứng minh bài toán bằng phương pháp loại trừ
Đây là phương pháp người ta dựa vào các yếu tố nêu trong đề bài để suy luận, dẫn dắt và loại trừ các khả năng, qua đó tìm ra được...
12.024 Lượt xem
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA  trong chứng minh toán học
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA trong chứng minh toán học
Trong thực tế khi làm Toán chúng ta gặp nhiều bài tập số ẩn lớn, giá trị lớn, số bước thực hiện lớn…mà chưa thể tìm được cách giải ngay, chưa hình...
12.079 Lượt xem
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Chương trình lớp 8 là một trong những trọng tâm của Toán trung học cơ sở bởi nó có nhiều dạng toán hay và khó. Dưới đây là một dạng bài toán như vậy,...
12.205 Lượt xem
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở...
12.191 Lượt xem