024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM TOÁN PHỔ THÔNG » Trung học cơ sở » 

Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12514
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu chuẩn bị kỹ càng từ kiến thức đến lộ trình ôn thi bài bản thì các em có thể vượt qua kì thi một cách dễ dàng hơn.
 Chi tiết đề thi các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY
Đây thường là các bài cuối 0.5đ, tương đối khó. Chính vì vậy chúng tôi lọc và viết lời giải một cách chi tiết. Cuối cùng là một số bài tập tương tự để các bạn tự luyện tập thêm. Ngoài bất đẳng thức các bạn chú ý ôn tập thêm các dạng của phương trình vô tỉ.
Bài toán 1: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Giảng Võ, 22/05/2023]
Giải phương trình $(5x+22)(2\sqrt{x}-\sqrt{2x+1})$ = $12x - 6$.
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 0, khi đó bằng cách nhân liên hợp ta được:
$(5x+22)(2\sqrt{x}-\sqrt{2x+1})$ = $12x - 6$
$\Leftrightarrow$ $\frac{(5x+22)(2x-1)}{2\sqrt{x}+\sqrt{2x+1}}$ = $6(2x - 1)$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)(5x+22-12\sqrt{x}-6\sqrt{2x+1})$ $= 0$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)[3(x -4\sqrt{x} +4) + (2x + 1 - 6\sqrt{2x+1} + 9)]$ = $0$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)[3(\sqrt{x}-2)^{2}+(\sqrt{2x+1}-3)^{2}]$ = $0$
$\Leftrightarrow$ x = 1/2 hoặc x = 4 (thỏa mãn).
Vậy tập các giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài ra là S = {1/2; 4}.

Bài toán 2: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 2022 - 2023]
Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 3/2, khi đó:
$\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}+4x$ + $4x-6$  + $2\sqrt{(x^{2}+4x)(4x-6)}$ = $3x^{2}+7x+2$
$\Leftrightarrow$ $2x^{2}-x + 8$ - $2\sqrt{(x^{2}+4x)(4x-6)}$ = 0
$\Leftrightarrow$ $(2x^{2}-3x)$ - $2\sqrt{(2x+8)(2x^2-3x)}$ + $(2x+8)$ = 0
$\Leftrightarrow$ $\left(\sqrt{2x^2 -3x} - \sqrt{2x+8}  \right)^{2}$ = 0
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2x^2 -3x} = \sqrt{2x+8}$
$\Leftrightarrow$ $2x^2 - 5x - 8 = 0$
$\Leftrightarrow$ $x = \frac{5+\sqrt{89}}{2}$ (thỏa mãn) hoặc $x = \frac{5-\sqrt{89}}{2}$ (loại)
Vậy $x = \frac{5+\sqrt{89}}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài toán 3: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Lương Thế Vinh, 21/05/2023]
Cho a, b, c là 3 số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$ và $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$
Lời giải:
Với các bạn không chuyên, có thể giải như sau:
Từ $(a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2} \ge 0$ $\Rightarrow$  $2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \ge $ 2ab + 2bc + 2ca $\Rightarrow$ $3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \ge $  $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ + 2ab + 2bc + 2ca = $(a+b+c)^{2}$ = 9, suy ra $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Mặt khác, sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số ta có:
$a^{3} + a^{2} + a \ge 3\sqrt[3]{a^{3}.a^{2}.a}$ = 3$a^{2}$ $\Rightarrow$ $a^{3}\ge 2a^{2} - a$.
Hoàn toàn tương tự:
$b^{3}\ge 2b^{2} - b$, $c^{3}\ge 2c^{2} - c$. Suy ra:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $2(a^{2} + b^{2} + b^{2})$ - (a + b + c) = $a^{2} + b^{2} + b^{2}$ + [$(a^{2} + b^{2} + b^{2})$ - 3] .
Vì $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$ theo chứng minh trên $\Rightarrow$ $(a^{2} + b^{2} + b^{2})$ - 3 $\ge 0$. Do đó  $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Đến đây bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Với các bạn khối chuyên toán thì có rất nhiều cách làm, đơn cử sau đây là một cách như vậy:
Vì vai trò của a, b, c như sau nên không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ $a^2 ≤ b^2 ≤ c^2$. Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta được:
$(a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2)$ ≤ $3(a^3 + b^3 + c^3)$, kết hợp với giả thiết a + b + c = 3 $\Rightarrow$ $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$

Bài toán 4: [Đề thi thử vào lớp 10 Quận Tây Hồ, 18/05/2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn  $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c} \le 4$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S =  $\frac{1}{2a + b + c}$ + $\frac{1}{2b + c + a}$ + $\frac{1}{2c + a + b}$.
Lời giải:
Bằng cách sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ $\ge \frac{16}{2a + b + c}$.
Tương tự:
$\frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$ $\ge \frac{16}{2b + c + a}$.
$\frac{1}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ $\ge \frac{16}{2c + a + b}$.
Cộng theo vế ta được:
$\frac{4}{a} + \frac{4}{b} + \frac{4}{c}$ $\ge$  $ \frac{16}{2a + b + c}$ + $ \frac{16}{2b + c + a}$ + $ \frac{16}{2c + a + b}$.
Suy ra:  S =  $\frac{1}{2a + b + c}$ + $\frac{1}{2b + c + a}$ + $\frac{1}{2c + a + b}$ $\le 1$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =   $\frac{3}{4}$.
Kết luận GTLN của S là 1.

Bài toán 5: [Đề thi thử vào lớp 10 Quận Bắc Từ Liêm, 18/05/2023]
Cho 3 < x < 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
S =  $\frac{2}{x-3}$ + $\frac{2}{5-x}$ + $\frac{1}{\sqrt{(x-3)(5-x)}}$.
Lời giải:
Sử dụng BĐT AM-GM ta có: $\sqrt{(x-3)(5-x)} \le$ $\frac{1}{2}(x-3+5-x) = 1$  $\Rightarrow$ $\frac{1}{\sqrt{(x-3)(5-x)}}\ge 1$.
Bằng cách sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$\frac{1}{x-3}$ + $\frac{1}{5-x}$ $\ge \frac{4}{x-3+5-x} = 2$.
Suy ra S $\ge 2.2 + 1 = 5$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 3 = 5 - x $\Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn).
Kết luận GTLN của S là 5.

Bài toán 6: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Ngô Sỹ Liên, Quận Hoàn Kiếm, 10/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương và x + y ≤ 1.
a. Chứng minh rằng $\frac{x^{2} + y^{2}}{2} \ge \left( \frac{x+y}{2} \right)^{2}$.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)^{2}$ + $\left( 1+y+\frac{1}{y} \right)^{2}$.
Lời giải:
a. HS tự làm.
b.  Sử dụng kết quả phần a. ta có:
P = $\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)^{2}$ + $\left( 1+y+\frac{1}{y} \right)^{2}$ ≥ $\frac{1}{2}(1+x+\frac{1}{x}+1+y+\frac{1}{y})^{2}$ = $\frac{1}{2}(2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$
Suy ra  P $\ge \frac{1}{2}(2+x+y+\frac{4}{x+y})^{2}$ = $\frac{1}{2}[2+(x+y+\frac{1}{x+y})+\frac{3}{x+y}]^{2}$.
Theo BĐT AM - GM thì $(x+y)+\frac{1}{x+y} \ge 2$, kết hợp với giả thiết x + y ≤ 1 suy ra:
P $\ge \frac{1}{2}(2+2+3)^{2} =\frac{49}{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = $\frac{1}{2}$.
Vậy GTNN của P là $\frac{49}{2}$.

Bài toán 7: [Đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Kim Giang, Quận Thanh Xuân, 19/04/2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn và a + b + c ≤ 1.
Tìm giá trị lớn nhất nhất của biểu thức S = $a^{3} + b^{2} + c$ - ab - bc - ca.
Lời giải:
Bài này chúng ta sẽ giải bằng cách đánh giá. Cơ sở lý thuyết HS có thể xem TẠI ĐÂY.
Theo bài ra: a, b, c là các số thực không âm và a + b + c ≤ 1  $\Rightarrow$ 0 ≤ a, b, c ≤ 1.
Khi đó $a^{3}\le a; b^{2}\le b$, ab + bc + ca ≥ 0, suy ra:
S ≤ a + b + c = 1.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a, b, c là các hoán vị của (1; 0; 0).
Vậy GTNN của S là 1.

Bài toán 8: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TX. SƠN TÂY, 19/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn và x + y   ≥ 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $2x^{2}+y^{2}+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}$.
Gợi ý:
Dự đoán rằng S đạt GTNN tại x = 2; y = 1 từ đó biến đổi S về dạng như sau:
S = $2(x-2)^2+(y-1)^2$ + $(\dfrac{28}{x}+7x)$ + $(y+\dfrac{1}{y})$ + (x + y) - 9
Kết hợp với BĐT AM-GM để đưa ra kết quả.

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ĐỂ HS TỰ GIẢI:
Bài toán 9: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO, Quận Cầu Giấy, 11/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn và 1 + xy ≤ y.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = $\frac{xy}{(x+y)^{2}}$.
Gợi ý:
Từ 1 + xy ≤ y $\Rightarrow$ 1 ≥ x + $\frac{1}{y}$ ≥ 2$\sqrt{\frac{x}{y}}$ $\Rightarrow$ $\frac{x}{y}$ ≤ $\frac{1}{4}$.
Bài toán 10: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Huyện Gia Lâm, 18/05/2023]
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn và x + 2y + 3z  ≥ 20.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}$.
Gợi ý:
Đưa S về dạng S = $\frac{1}{4}(x+2y+3z)$ + $(\frac{3x}{4}+\frac{3}{x})$ + $(\frac{2y}{4}$ + $\frac{9}{2y})$ + $(\frac{z}{4}$ + $\frac{4}{z})$.
Từ đây sử dụng BĐT AM - GM kết hợp giả thiết để đưa ra kết luận.
Bài toán 11: [Đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Kim Giang, Quận Thanh Xuân, 12/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn và 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = (2x - 5)(3 - 2y).
Gợi ý:
Lý luận để đưa P về dạng P = (5 - 2x)(2y - 3)
Bài toán 12: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Thanh Xuân Nam Quận Thanh Xuân, 25/05/2023]
Với 2 số thực x, y không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+xy=3$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{xy+3}{x+y}$.
Gợi ý:
Đưa P về dạng P = x + y.
Bài toán 13: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Ba Đình, 10/05/2023]
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn và a + b   = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$.
Gợi ý:
Để tìm GTLN các bạn dùng BĐT Bunhiacopxki.
Để tìm GTNN: $S^2$ = 2ab + a + b + 2$\sqrt{ab(a+1)(b+1)}$
Vì a, b là các số thực không âm $\Rightarrow S^2 \ge 1$ 
Bài toán 14: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Hoàn Kiếm, 24/05/2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn  a + b + c = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S =  $\frac{a}{2-a}$ + $\frac{b}{2-b}$ + $\frac{c}{2-c}$.
Gợi ý:
Từ điều kiện bài ra ta thấy $0 \leq a\leq 1 \Rightarrow 2-a\ge 1 \Rightarrow \frac{a}{2-a} \le a$
Làm tương tự với b, c $\Rightarrow S \le 1$
Bài toán 15: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - trường THCS Tân Lập, Đan Phượng, 24/05/2023]
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn  a + b = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =  $\sqrt{2a^{2}+a+1}$ + $\sqrt{2b^{2}+b+1}$.

 Chi tiết đề thi các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY
Chúc các em HS ôn luyện thật tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi vào 10 hoặc các trường CĐ, ĐH sắp tới!

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại và gửi tới các em học sinh tài liệu để...
2.721 Lượt xem
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Tiếp tuyến của đường tròn được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và không thể thiếu trong các đề thi tuyển sinh vào lớp...
12.713 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu...
12.514 Lượt xem
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Trực tâm tam giác là kiến thức hình học cơ bản đã được đưa vào chương trình trung học cơ sở. Có rất nhiều bài toán hay và khó liên quan đến tính chất...
12.554 Lượt xem
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Trong chương trình toán học phổ thông, nếu như lớp 6 là sự khởi đầu với những nốt nhạc cơ bản(điểm, đoạn thẳng, góc...) thì từ lớp 7 là sự bùng nổ, sự...
12.040 Lượt xem
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có...
11.981 Lượt xem
Chứng minh bài toán  bằng phương pháp loại trừ
Chứng minh bài toán bằng phương pháp loại trừ
Đây là phương pháp người ta dựa vào các yếu tố nêu trong đề bài để suy luận, dẫn dắt và loại trừ các khả năng, qua đó tìm ra được...
11.969 Lượt xem
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA  trong chứng minh toán học
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA trong chứng minh toán học
Trong thực tế khi làm Toán chúng ta gặp nhiều bài tập số ẩn lớn, giá trị lớn, số bước thực hiện lớn…mà chưa thể tìm được cách giải ngay, chưa hình...
12.010 Lượt xem
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Chương trình lớp 8 là một trong những trọng tâm của Toán trung học cơ sở bởi nó có nhiều dạng toán hay và khó. Dưới đây là một dạng bài toán như vậy,...
12.127 Lượt xem
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở...
12.081 Lượt xem