Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu chuẩn bị kỹ càng từ kiến thức đến lộ trình ôn thi bài bản thì các em có thể vượt qua kì thi một cách dễ dàng hơn.
Chi tiết đề thi các em học sinh có thể tải về
TẠI ĐÂY
Đây thường là các bài cuối 0.5đ, tương đối khó. Chính vì vậy chúng tôi lọc và viết lời giải một cách chi tiết. Cuối cùng là một số bài tập tương tự để các bạn tự luyện tập thêm. Ngoài bất đẳng thức các bạn chú ý ôn tập thêm các dạng của phương trình vô tỉ. Bài toán 1: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Giảng Võ, 22/05/2023]
Giải phương trình $(5x+22)(2\sqrt{x}-\sqrt{2x+1})$ = $12x - 6$.
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 0, khi đó bằng cách nhân liên hợp ta được:
$(5x+22)(2\sqrt{x}-\sqrt{2x+1})$ = $12x - 6$
$\Leftrightarrow$ $\frac{(5x+22)(2x-1)}{2\sqrt{x}+\sqrt{2x+1}}$ = $6(2x - 1)$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)(5x+22-12\sqrt{x}-6\sqrt{2x+1})$ $= 0$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)[3(x -4\sqrt{x} +4) + (2x + 1 - 6\sqrt{2x+1} + 9)]$ = $0$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)[3(\sqrt{x}-2)^{2}+(\sqrt{2x+1}-3)^{2}]$ = $0$
$\Leftrightarrow$ x = 1/2 hoặc x = 4 (thỏa mãn).
Vậy tập các giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài ra là S = {1/2; 4}.
Bài toán 2: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 2022 - 2023]
Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 3/2, khi đó:
$\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}+4x$ + $4x-6$ + $2\sqrt{(x^{2}+4x)(4x-6)}$ = $3x^{2}+7x+2$
$\Leftrightarrow$ $2x^{2}-x + 8$ - $2\sqrt{(x^{2}+4x)(4x-6)}$ = 0
$\Leftrightarrow$ $(2x^{2}-3x)$ - $2\sqrt{(2x+8)(2x^2-3x)}$ + $(2x+8)$ = 0
$\Leftrightarrow$ $\left(\sqrt{2x^2 -3x} - \sqrt{2x+8} \right)^{2}$ = 0
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2x^2 -3x} = \sqrt{2x+8}$
$\Leftrightarrow$ $2x^2 - 5x - 8 = 0$
$\Leftrightarrow$ $x = \frac{5+\sqrt{89}}{2}$ (thỏa mãn) hoặc $x = \frac{5-\sqrt{89}}{2}$ (loại)
Vậy $x = \frac{5+\sqrt{89}}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài toán 3: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Lương Thế Vinh, 21/05/2023]
Cho a, b, c là 3 số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$ và $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$
Lời giải:
Với các bạn không chuyên, có thể giải như sau:
Từ $(a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2} \ge 0$ $\Rightarrow$ $2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \ge $ 2ab + 2bc + 2ca $\Rightarrow$ $3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \ge $ $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ + 2ab + 2bc + 2ca = $(a+b+c)^{2}$ = 9, suy ra $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Mặt khác, sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số ta có:
$a^{3} + a^{2} + a \ge 3\sqrt[3]{a^{3}.a^{2}.a}$ = 3$a^{2}$ $\Rightarrow$ $a^{3}\ge 2a^{2} - a$.
Hoàn toàn tương tự:
$b^{3}\ge 2b^{2} - b$, $c^{3}\ge 2c^{2} - c$. Suy ra:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $2(a^{2} + b^{2} + b^{2})$ - (a + b + c) = $a^{2} + b^{2} + b^{2}$ + [$(a^{2} + b^{2} + b^{2})$ - 3] .
Vì $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$ theo chứng minh trên $\Rightarrow$ $(a^{2} + b^{2} + b^{2})$ - 3 $\ge 0$. Do đó $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Đến đây bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Với các bạn khối chuyên toán thì có rất nhiều cách làm, đơn cử sau đây là một cách như vậy:
Vì vai trò của a, b, c như sau nên không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ $a^2 ≤ b^2 ≤ c^2$. Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta được:
$(a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2)$ ≤ $3(a^3 + b^3 + c^3)$, kết hợp với giả thiết a + b + c = 3 $\Rightarrow$ $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$
Bài toán 4: [Đề thi thử vào lớp 10 Quận Tây Hồ, 18/05/2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c} \le 4$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = $\frac{1}{2a + b + c}$ + $\frac{1}{2b + c + a}$ + $\frac{1}{2c + a + b}$.
Lời giải:
Bằng cách sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ $\ge \frac{16}{2a + b + c}$.
Tương tự:
$\frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$ $\ge \frac{16}{2b + c + a}$.
$\frac{1}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ $\ge \frac{16}{2c + a + b}$.
Cộng theo vế ta được:
$\frac{4}{a} + \frac{4}{b} + \frac{4}{c}$ $\ge$ $ \frac{16}{2a + b + c}$ + $ \frac{16}{2b + c + a}$ + $ \frac{16}{2c + a + b}$.
Suy ra: S = $\frac{1}{2a + b + c}$ + $\frac{1}{2b + c + a}$ + $\frac{1}{2c + a + b}$ $\le 1$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = $\frac{3}{4}$.
Kết luận GTLN của S là 1.
Bài toán 5: [Đề thi thử vào lớp 10 Quận Bắc Từ Liêm, 18/05/2023]
Cho 3 < x < 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = $\frac{2}{x-3}$ + $\frac{2}{5-x}$ + $\frac{1}{\sqrt{(x-3)(5-x)}}$.
Lời giải:
Sử dụng BĐT AM-GM ta có: $\sqrt{(x-3)(5-x)} \le$ $\frac{1}{2}(x-3+5-x) = 1$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{\sqrt{(x-3)(5-x)}}\ge 1$.
Bằng cách sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$\frac{1}{x-3}$ + $\frac{1}{5-x}$ $\ge \frac{4}{x-3+5-x} = 2$.
Suy ra S $\ge 2.2 + 1 = 5$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 3 = 5 - x $\Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn).
Kết luận GTLN của S là 5.
Bài toán 6: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Ngô Sỹ Liên, Quận Hoàn Kiếm, 10/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương và x + y ≤ 1.
a. Chứng minh rằng $\frac{x^{2} + y^{2}}{2} \ge \left( \frac{x+y}{2} \right)^{2}$.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)^{2}$ + $\left( 1+y+\frac{1}{y} \right)^{2}$.
Lời giải:
a. HS tự làm.
b. Sử dụng kết quả phần a. ta có:
P = $\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)^{2}$ + $\left( 1+y+\frac{1}{y} \right)^{2}$ ≥ $\frac{1}{2}(1+x+\frac{1}{x}+1+y+\frac{1}{y})^{2}$ = $\frac{1}{2}(2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$
Suy ra P $\ge \frac{1}{2}(2+x+y+\frac{4}{x+y})^{2}$ = $\frac{1}{2}[2+(x+y+\frac{1}{x+y})+\frac{3}{x+y}]^{2}$.
Theo BĐT AM - GM thì $(x+y)+\frac{1}{x+y} \ge 2$, kết hợp với giả thiết x + y ≤ 1 suy ra:
P $\ge \frac{1}{2}(2+2+3)^{2} =\frac{49}{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = $\frac{1}{2}$.
Vậy GTNN của P là $\frac{49}{2}$.
Bài toán 7: [Đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Kim Giang, Quận Thanh Xuân, 19/04/2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn và a + b + c ≤ 1.
Tìm giá trị lớn nhất nhất của biểu thức S = $a^{3} + b^{2} + c$ - ab - bc - ca.
Lời giải:
Bài này chúng ta sẽ giải bằng cách đánh giá. Cơ sở lý thuyết HS có thể xem
TẠI ĐÂY.
Theo bài ra: a, b, c là các số thực không âm và a + b + c ≤ 1 $\Rightarrow$ 0 ≤ a, b, c ≤ 1.
Khi đó $a^{3}\le a; b^{2}\le b$, ab + bc + ca ≥ 0, suy ra:
S ≤ a + b + c = 1.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a, b, c là các hoán vị của (1; 0; 0).
Vậy GTNN của S là 1.
Bài toán 8: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TX. SƠN TÂY, 19/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn và x + y ≥ 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $2x^{2}+y^{2}+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}$.
Gợi ý:
Dự đoán rằng S đạt GTNN tại x = 2; y = 1 từ đó biến đổi S về dạng như sau:
S = $2(x-2)^2+(y-1)^2$ + $(\dfrac{28}{x}+7x)$ + $(y+\dfrac{1}{y})$ + (x + y) - 9
Kết hợp với BĐT AM-GM để đưa ra kết quả.
MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ĐỂ HS TỰ GIẢI:
Bài toán 9: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO, Quận Cầu Giấy, 11/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn và 1 + xy ≤ y.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = $\frac{xy}{(x+y)^{2}}$.
Gợi ý:
Từ 1 + xy ≤ y $\Rightarrow$ 1 ≥ x + $\frac{1}{y}$ ≥ 2$\sqrt{\frac{x}{y}}$ $\Rightarrow$ $\frac{x}{y}$ ≤ $\frac{1}{4}$.
Bài toán 10: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Huyện Gia Lâm, 18/05/2023]
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn và x + 2y + 3z ≥ 20.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}$.
Gợi ý:
Đưa S về dạng S = $\frac{1}{4}(x+2y+3z)$ + $(\frac{3x}{4}+\frac{3}{x})$ + $(\frac{2y}{4}$ + $\frac{9}{2y})$ + $(\frac{z}{4}$ + $\frac{4}{z})$.
Từ đây sử dụng BĐT AM - GM kết hợp giả thiết để đưa ra kết luận.
Bài toán 11: [Đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Kim Giang, Quận Thanh Xuân, 12/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn và 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = (2x - 5)(3 - 2y).
Gợi ý:
Lý luận để đưa P về dạng P = (5 - 2x)(2y - 3)
Bài toán 12: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Thanh Xuân Nam Quận Thanh Xuân, 25/05/2023]
Với 2 số thực x, y không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+xy=3$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{xy+3}{x+y}$.
Gợi ý:
Đưa P về dạng P = x + y.
Bài toán 13: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Ba Đình, 10/05/2023]
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn và a + b = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$.
Gợi ý:
Để tìm GTLN các bạn dùng BĐT Bunhiacopxki.
Để tìm GTNN: $S^2$ = 2ab + a + b + 2$\sqrt{ab(a+1)(b+1)}$
Vì a, b là các số thực không âm $\Rightarrow S^2 \ge 1$
Bài toán 14: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Hoàn Kiếm, 24/05/2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = $\frac{a}{2-a}$ + $\frac{b}{2-b}$ + $\frac{c}{2-c}$.
Gợi ý:
Từ điều kiện bài ra ta thấy $0 \leq a\leq 1 \Rightarrow 2-a\ge 1 \Rightarrow \frac{a}{2-a} \le a$
Làm tương tự với b, c $\Rightarrow S \le 1$
Bài toán 15: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - trường THCS Tân Lập, Đan Phượng, 24/05/2023]
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn a + b = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $\sqrt{2a^{2}+a+1}$ + $\sqrt{2b^{2}+b+1}$.
Chi tiết đề thi các em học sinh có thể tải về
TẠI ĐÂYChúc các em HS ôn luyện thật tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi vào 10 hoặc các trường CĐ, ĐH sắp tới!
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam