024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM TOÁN PHỔ THÔNG » Trung học cơ sở » 

Chứng minh bài toán bằng phương pháp loại trừ

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12025
Đây là phương pháp người ta dựa vào các yếu tố nêu trong đề bài để suy luận, dẫn dắt và loại trừ các khả năng, qua đó tìm ra được đáp án. Để thực hiện thì ngoài việc diễn giải thông thường, có thể dùng bảng hoặc đồ thị để biểu diễn các mối quan hệ, khi đó lời giải sẽ sáng hơn, dễ hiểu hơn.
 Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY
Bài toán 1
Trên một đoàn tàu hỏa, phụ trách một toa tàu thông báo trong toa có một số người bị nhọ mặt và ra hiệu lệnh: Mọi người tập hợp xung quanh tôi, không được soi gương, nói chuyện hay bất kỳ hành động nào có thể giúp cho người khác biết về tình trạng nhọ hay không nhọ. Chỉ được phép nhìn nhau và suy nghĩ, nếu ai biết chắc chắn mình bị nhọ thì khi tàu dừng sẽ xuống rửa. Kết quả là sau khi tàu dừng ở ga thứ 4 thì không còn ai bị nhọ. Hỏi ban đầu trong toa tàu có bao nhiêu người bị nhọ mặt?
(Giả thiết rằng mọi người đều suy nghĩ thuần túy như nhau)
Lời giải:
Chúng ta sẽ xét từng trường hợp, loại trừ dần như sau:
Trường hợp 1(TH1):  Trên tàu chỉ có 1 người bị nhọ mặt là A
Người đó A sẽ nhìn thấy không ai bị nhọ mặt, mà người phụ trách toa tàu đã thông báo có người bị nhọ, chứng tỏ mình bị nhọ và sẽ xuống ga thứ 1 để rửa. Sau khi tàu dừng ga thứ nhất hết người bị nhọ chứ không phải ga thứ 4 nên trường hợp này loại.
Trường hợp 2(TH2): Trên tàu chỉ có 2 người bị nhọ mặt A và B
Khi đó chẳng hạn A sẽ chỉ thấy 1 người bị nhọ, để biết mình có bị nhọ hay không A sẽ nghĩ: nếu ga thứ nhất B xuống rửa thì mình không bị nhọ(vì họ sẽ suy nghĩ giống như TH1). Nhưng qua ga thứ 1 không thấy ai xuống nên A sẽ nhận ra ngay là mình bị nhọ mặt và xuống rửa ở ga thứ 2(cả B cũng vậy), nghĩa là sau khi tàu dừng ở ga 2 sẽ không còn ai bị mặt nhọ chứ không phải ga thứ 4. Trường hợp này cũng bị loại.
Trường hợp 3(TH3): Trên tàu chỉ có 3 người bị nhọ mặt A, B  và C
Khi đó chẳng hạn A sẽ chỉ thấy 2 người bị nhọ là B và C, để biết mình có bị nhọ hay không A sẽ nghĩ: nếu chỉ B và C bị nhọ thì họ sẽ nghĩ giống như TH2 tức là đến ga 2 cả B và C sẽ xuống rửa mặt. Nhưng qua ga 2 cả 2 đều không xuống chứng tỏ mình(A) đang bị nhọ và sẽ xuống rửa ở ga thứ 3(B, C cũng thế), nghĩa là sau khi tàu dừng ở ga 3 sẽ không còn ai bị mặt nhọ chứ không phải ga thứ 4. Trường hợp này cũng bị loại.
Cuối cùng ta sét trường hợp trên tàu chỉ có 4 người bị nhọ mặt, khi đó 1 người trong họ(ví dụ A) sẽ chỉ quan sát thấy 3 người nhọ mặt. A sẽ nghĩ rằng: nếu chỉ có 3 người bị nhọ mặt thôi thì những người đó sẽ nghĩ giống TH3 nghĩa là đến ga thứ 3 họ sẽ xuống rửa mặt nhưng ga thứ 3 họ cũng không xuống chứng tỏ mình(A) đang bị nhọ mặt và tất nhiên đến ga thứ 4 sẽ xuống rửa, 3 người còn lại cũng suy nghĩ và làm tương tự.
Nói tóm lại với 4 người bị nhọ mặt thì sau khi tàu dừng ở ga thứ 4 sẽ không người nào bị nhọ nữa.

Bài toán 2: [Đề thi chọn HSG toán lớp 6]
Trong 1 buổi học nữ công ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm 3 bông hoa cúc, đào, hồng. Bạn làm hoa hồng nói với Cúc : Hóa ra trong chúng ta chẳng ai làm loại hoa trùng với tên mình nhỉ! Hỏi ai đã làm hoa nào?
(Giả thiết rằng mỗi người chỉ làm một loại hoa và 1 loại hoa chỉ được làm bởi một người)
Lời giải:
Chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ như sau bằng cách ký kiệu ba bạn bởi và 3 loại hoa bởi 6 điểm như trên hình vẽ. Nếu ai trồng loại hoa gì thì tên và hoa sẽ nối với nhau bằng nét rõ, ngược lại bởi nét mờ.
Theo bài ra thì Cúc – cúc, Đào – đào, Hồng – hồng được nối bởi nét mờ.
Từ đoạn hội thoại giữa bạn làm hoa hồng với Cúc suy ra bạn làm hoa hồng không thể tên Cúc(vì nếu ngược lại thì Cúc nói chuyện với chính mình!) nên Cúc – hồng sẽ được nối bởi nét mờ. Ta thấy Cúc – hồng và Hồng – hồng đã là nét mờ ⇒ Đào sẽ làm hoa hồng.
Vì Cúc không làm cúc và Cúc không làm hồng nên Cúc sẽ làm hoa đào và còn lại hiển nhiên Hồng là người làm hoa cúc.
Lời bình:
Bài toán này học sinh có thể suy luận bình thường hoặc dùng bảng. Tuy nhiên phương pháp dùng đồ thị(hoặc tô màu) như trên cho thấy mối liên hệ trực quan hơn, dễ hiểu hơn.…

Bài toán 3:
Thầy Nghiêm được nhà trường cử đưa bốn học sinh Lê, Huy, Hoàng, Tiến đi thi đấu điền kinh. Kết quả có ba em đạt các giải nhất, nhì, ba và một em không đạt giải. Khi về trường mọi người hỏi kết quả các em trả lời như sau: 
- Lê: Mình đạt giải nhì hoặc ba. 
- Huy: Mình đã đạt giải. 
- Hoàng: Mình đạt giải nhất. 
- Tiến: Mình không đạt giải. 
Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười và nói: “ Chỉ có ba bạn nói thật, còn một bạn đã nói đùa.” 
Bạn hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa, ai đạt giải nhất và ai không đạt giải?

Bài toán 4: 
Một trong 3 người An, Bình, Cúc đến từ thành phố A. Hai người còn lại đến từ thành phố B và C. Cúc nhiều tuổi hơn người đến từ thành phố B, An và người đến từ thành phố C không bằng tuổi nhau. Người đến từ thành phố C trẻ hơn Bình.
Hỏi ai đến từ thành phố A?

 Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại và gửi tới các em học sinh tài liệu để...
2.849 Lượt xem
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Tiếp tuyến của đường tròn được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và không thể thiếu trong các đề thi tuyển sinh vào lớp...
12.802 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu...
12.591 Lượt xem
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Trực tâm tam giác là kiến thức hình học cơ bản đã được đưa vào chương trình trung học cơ sở. Có rất nhiều bài toán hay và khó liên quan đến tính chất...
12.650 Lượt xem
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Trong chương trình toán học phổ thông, nếu như lớp 6 là sự khởi đầu với những nốt nhạc cơ bản(điểm, đoạn thẳng, góc...) thì từ lớp 7 là sự bùng nổ, sự...
12.097 Lượt xem
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có...
12.038 Lượt xem
Chứng minh bài toán  bằng phương pháp loại trừ
Chứng minh bài toán bằng phương pháp loại trừ
Đây là phương pháp người ta dựa vào các yếu tố nêu trong đề bài để suy luận, dẫn dắt và loại trừ các khả năng, qua đó tìm ra được...
12.025 Lượt xem
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA  trong chứng minh toán học
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA trong chứng minh toán học
Trong thực tế khi làm Toán chúng ta gặp nhiều bài tập số ẩn lớn, giá trị lớn, số bước thực hiện lớn…mà chưa thể tìm được cách giải ngay, chưa hình...
12.079 Lượt xem
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Chương trình lớp 8 là một trong những trọng tâm của Toán trung học cơ sở bởi nó có nhiều dạng toán hay và khó. Dưới đây là một dạng bài toán như vậy,...
12.206 Lượt xem
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở...
12.191 Lượt xem