024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM TOÁN PHỔ THÔNG » Trung học cơ sở » 

Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12206
Chương trình lớp 8 là một trong những trọng tâm của Toán trung học cơ sở bởi nó có nhiều dạng toán hay và khó. Dưới đây là một dạng bài toán như vậy, xuất hiện nhiều trong các kỳ thi HSG mà học sinh cần nắm vững.
Bài toán 1.
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên hai cạnh BC, CD lấy lần lượt hai điểm N, M sao cho $\angle MAN = 45^{0}$. Trên tia đối của của tia DC lấy điểm I sao cho DI = BN. Hãy tính :
a) Tính số đo $\angle IAM$
b) Chu vi tam giác CMN theo a.
bai-tap-hinh-vuong-toan-lop-8.jpg
Lời giải:
a. Xét tam giác vuông △ABN và tam giác vuông △ADI có AB = AD, BN = DI $\Rightarrow$ △ABN = △ADI. Suy ra  $\angle BAN = \angle DAI $. (*)
Dễ thấy  $\angle BAN + \angle MAD =  45^{0}$  $\Rightarrow$ $\angle IAM = \angle IAD + \angle MAD $ = $\angle BAN + \angle MAD =  45^{0}$.
a. Xét 2 tam giác △IAM và tam giác △NAM có:
AI = AN (theo (*))
AM chung
Từ kết quả phần b) ta được $\angle IAM = \angle NAM =  45^{0}$
Suy ra △IAM = △NAM $\Rightarrow$ MI = MN
Gọi chu vi của tam giác CMN là C ta có: C = CM + MN + NC = CM + MI + NC = CM + MD + BN + NC = BC + CD = 2a.

Bài toán 2.
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Một điểm M di động trên cạnh DC(M không trùng D và C). Chọn điểm N trên cạnh BC sao cho $\angle MAN = 45^{0}$. Đường chéo DB theo thứ tự cắt AM, AN tại E và F.
a) Chứng minh $\Delta ABF \sim \Delta ACM$
b) $\angle AFM = \angle AEN = 90^{0}$
c) Chứng minh $S_{\Delta AEF} = 1/2 S_{\Delta AMN}$
d) Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi M di động trên DC.
e) Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến MN không đổi.
f) Gọi H là giao điểm MF và NE, chứng minh rằng MH.MF + NH.NE = $CM^{2} + CN^{2}$.
Lời giải:
a. Xét tam giác  $\Delta ABF$ và $\Delta ACM$ có:
$\angle ABF = \angle ACM = 45^{0}$
$\angle BAF + \angle FAC =  45^{0}$, $\angle FAC + \angle CAM =  45^{0}$  $\Rightarrow$ $\angle BAF = \angle CAM$
Suy ra $\Delta ABF \sim \Delta ACM$ (g.g)
b. Từ kết quả phần a)  $\Delta ABF \sim \Delta ACM$  $\Rightarrow$ $\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AM}$
$\Rightarrow$ $\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AM}$
Mặt khác $\angle BAC = \angle FAM = 45^{0}$
Suy ra $\Delta ABC \sim \Delta AFM$ (g.g) $\Rightarrow$ $\angle AFM = 90^{0}$.
Tương tự cũng có $\angle AEN = 90^{0}$
c. Dễ dàng chứng minh được  $\Delta AEF \sim \Delta ANM$
Sử dụng tính chất: tỉ số giữa diện tích 2 tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng sẽ được kết quả.
d. Vẽ thêm hình và làm tương tự câu b) của Bài toán 1 nêu trên.
e. Tương tự câu a) của Bài toán 1 nêu trên ta thu được △IAM = △NAM $\Rightarrow$  AJ = AD = a (không đổi)(2 đường cao xuất phát từ 2 đỉnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)
f. Bạn đọc có thể dùng tam giác đồng dạng hoặc công thức về cát tuyến với đường tròn để thu được:
MH.MF = MJ.MN
NH.NE =  NJ.NM
Suy ra MH.MF + NH.NE = MJ.MN + NJ.NM =  $MN^{2}$ = $CM^{2} + CN^{2}$.
Bài toán được chứng minh.

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài toán 1.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho chu vi các tam giác CMN bằng 2a. Đường chéo DB theo thứ tự cắt MN tại E và F.
a) Chứng minh rằng góc $\angle MAN$ có số đo không đổi.
b) Chứng minh $\Delta ABF \sim \Delta ACM$
c) $\angle AFM = \angle AEN = 90^{0}$
d) Chứng minh $S_{\Delta AEF} = 1/2 S_{\Delta AMN}$
e) Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến MN không đổi.
f) Gọi H là giao điểm MF và NE, chứng minh rằng MH.MF + NH.NE = $CM^{2} + CN^{2}$.

Bài toán 2.
Cho hình vuông ABCD. M là điểm nằm trên cạnh DC. Vẽ tam giác AMN vuông cân tại M (N và A thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ BC). Gọi P là giao điểm của AN và BC. 
Chứng minh MA là tia phân giác của góc DMP.

Bài toán 3.
 Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình vuông BCDE, ACFG, ABKH và các hình bình hành BEQK, CDPF. 
Chứng minh tam giác APQ là tam giác vuông cân.

Bài toán 6.
Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi K là giao điểm CE và DF. Chứng minh rằng:
a) CE ⏊ DF
b) Tam giác ADK cân

Bài toán 4.
Cho tứ giác ABCD có ∠B + ∠C = $90^{0}$, AB = CD. Gọi I, N, J, M lần lượt là trung điểm của AD, AC, CB, DB. Chứng minh rằng INJM là hình vuông.

Bài toán 5.
Cho hình vuông ABCD, I là một điểm nằm trong hình vuông sao cho góc ∠IBC = ∠ICB = $15^{0}$, J là một điểm nằm ngoài hình vuông sao cho góc ∠JDC = ∠JCD = $60^{0}$. Chứng minh rằng:
a) Tam giác AID là tam giác đều.
b) Ba điểm B, I, J thẳng hàng.



Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Hà Nội

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại và gửi tới các em học sinh tài liệu để...
2.849 Lượt xem
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Tiếp tuyến của đường tròn được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và không thể thiếu trong các đề thi tuyển sinh vào lớp...
12.802 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu...
12.591 Lượt xem
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Trực tâm tam giác là kiến thức hình học cơ bản đã được đưa vào chương trình trung học cơ sở. Có rất nhiều bài toán hay và khó liên quan đến tính chất...
12.650 Lượt xem
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Trong chương trình toán học phổ thông, nếu như lớp 6 là sự khởi đầu với những nốt nhạc cơ bản(điểm, đoạn thẳng, góc...) thì từ lớp 7 là sự bùng nổ, sự...
12.097 Lượt xem
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có...
12.037 Lượt xem
Chứng minh bài toán  bằng phương pháp loại trừ
Chứng minh bài toán bằng phương pháp loại trừ
Đây là phương pháp người ta dựa vào các yếu tố nêu trong đề bài để suy luận, dẫn dắt và loại trừ các khả năng, qua đó tìm ra được...
12.024 Lượt xem
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA  trong chứng minh toán học
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA trong chứng minh toán học
Trong thực tế khi làm Toán chúng ta gặp nhiều bài tập số ẩn lớn, giá trị lớn, số bước thực hiện lớn…mà chưa thể tìm được cách giải ngay, chưa hình...
12.079 Lượt xem
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Chương trình lớp 8 là một trong những trọng tâm của Toán trung học cơ sở bởi nó có nhiều dạng toán hay và khó. Dưới đây là một dạng bài toán như vậy,...
12.206 Lượt xem
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở...
12.191 Lượt xem