Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của một số trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 đợt I - Trường THPT chuyên KHTN - năm 2025 để phụ huynh cũng như học sinh tham khảo.
Vì có nhiều tranh luận ở lời giải gốc nên ta chia ra thành hai bài toán, nhìn ở góc độ nào thì cũng sẽ có ý nghĩa riêng của nó.
Bài toán 1. Giả sử dãy các số nguyên x1, x2, ..., xn (n ≥ 7) thoả mãn hai tính chất sau:
1. Tổng của 7 số bất kỳ nhỏ hơn 15.
2. Tổng của tất cả n số bằng 100.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của n.
Lời giải:
Vì x1, x2, ..., xn là các số nguyên và tổng của 7 số bất kỳ nhỏ hơn 15 nên tổng của 7 số bất kỳ không vượt quá 14. Khi đó:
x_1 + x_2 + ⋯ + x_7 ≤ 14
x_2 + x_3 + ⋯ + x_8 ≤ 14
…
x_(n-1) + x_n + ⋯ + x_5 ≤ 14
x_n + x_1 + ⋯ + x_6 ≤ 14
Cộng theo vế của n bất đẳng thức trên ta được:
7(x_1 + x_2 + ⋯ + x_n ) ≤ 14n
700 ≤ 14n ⇒ n ≥ 50.
Với n = 50 ta có thể chọn x_1 = x_2 = ⋯ = x_50 = 2 là bộ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy GTNN của n là 50.
Bài toán 2. Giả sử dãy các số thực x1, x2, ..., xn (n ≥ 7) thoả mãn hai tính chất sau:
1. Tổng của 7 số bất kỳ nhỏ hơn 15.
2. Tổng của tất cả n số bằng 100.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của n.
Lời giải:
Vì tổng của 7 số bất kỳ nhỏ hơn 15 nên ta có:
x_1 + x_2 + ⋯ + x_7 < 15
x_2 + x_3 + ⋯ + x_8 < 15
…
x_(n-1) + x_n + ⋯ + x_5 < 15
x_n + x_1 + ⋯ + x_6 < 15
Cộng theo vế của n bất đẳng thức trên ta được:
7(x_1 + x_2 + ⋯ + x_n ) < 15n
700 < 15n ⇒ n > 700/15∙
Do n nguyên ⇒ n ≥ 47.
Với n = 47, ta có thể chọn x_1 = x_2 = ⋯ = x_46 = 2,14 và x_47 = 1,56 là bộ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy GTNN của n là 47.
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam