Ví dụ cần chứng minh một bất đẳng thức “lạ” với 3 biến a, b, c ta nên đưa bài toán về trường hợp đặc biệt bằng cách giảm số biến của bài toán xuống 2 biến a, b. Một bài toán về trò chơi với 37 tấm thẻ và 327 lượt chơi thì ta quy thử về 3 tấm, 5 tấm thẻ xem thế nào. Một bài toán so sánh với (17091982!)2 ta thử xét n = 2; n = 3 xem điều gì sẽ xảy ra…đôi khi chân lý bắt đầu từ những điều đơn giản nhất!
Bài toán 2 [Đề thi Olympic lớp 7 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2017 – 2018]
Trên mặt bàn có 37 tấm thẻ cùng kích thước. Mỗi tấm thẻ có 2 mặt, một mặt màu xanh và một mặt màu đỏ. Lúc đầu người ta xếp tất cả các tấm thẻ đều có mặt màu xanh ngửa lên. Ta thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lượt phải đổi mặt 2 tấm thẻ khác nhau trong 37 tấm thẻ trên mặt bàn.
Hỏi sau 327 lượt chơi như vậy có thể tất cả 37 tấm thẻ trên bàn đều có mặt màu đỏ lên trên hay không? Tại sao?
Lời giải:
Đây là bài toán suy luận logic khá hay sử dụng tính chẵn lẻ. Thật khó tưởng tượng nếu ta sử dụng đầy đủ 3 7 quân bài và tính xem sau mỗi bước thì số mặt xanh hay đỏ trên mặt bàn là bao nhiêu. Ta lại sử dụng phương pháp đặc biệt hóa, xem xét bài toán nhỏ hơn: với 2 tấm thẻ hoặc 4 tấm thì chỉ cần sau 1 hoặc 2 lượt chơi thì tất cả các mặt đỏ đã được lật, còn với 3 tấm thì sao?
Thực tế cho thấy rằng sau lượt chơi đầu tiên, trên bàn sẽ có 2 tấm thẻ màu đỏ và 1 tấm thẻ màu xanh, với cách chọn 2 quân tiếp theo bất kỳ thì số mặt xanh còn lại cũng sẽ là 1 hoặc 3(là một số lẻ) nghĩa là không bao giờ đạt được kết quả là lật được tất cả các tấm thẻ có màu đỏ hướng lên trên. Vậy là đã xuất hiện ý tưởng cho việc giải bài toán trên rồi đấy!
Dễ nhận thấy rằng số mặt xanh ban đầu bằng 37(là một số lẻ). Khi thực hiện lật 2 thẻ bất kỳ chỉ có thể xảy ra:
Trường hợp 1: Nếu lật 2 thẻ đang có mặt xanh, khi đó số mặt xanh trên bàn giảm đi 2 đơn vị.
Trường hợp 2: Nếu lật 2 thẻ mà có màu đối lập thì số mặt xanh không đổi.
Trường hợp 3: Nếu lật 2 thẻ đang có mặt đỏ thì số mặt xanh tăng lên 2
Nghĩa là ở bất kỳ trường hợp nào, số mặt xanh sau mỗi lượt chơi vẫn là một số lẻ. Nó không thể bằng 0! Nghĩa là với luật chơi như vậy thì không thể xảy ra trường hợp cả 37 tấm thẻ trên bàn đều có mặt màu đỏ hướng lên trên dù có thực hiện bao nhiêu lần đi nữa.
Lời bình:
Dữ liệu “327” lần trong đề ra chỉ gây rối, nhằm đánh lạc hướng suy nghĩ của người làm, trên thực tế cho thấy việc lật được tất cả các mặt cùng màu hay không chỉ phụ thuộc vào số thẻ(chẵn hay lẻ) chứ không phụ thuộc vào số lượt chơi.
Bài toán 3 [Dương Quốc Nam]
Tính tổng S = $\mathrm{C}_{n}^{0}$ + $\frac{2^{2}-1}{2}\mathrm{C}_{n}^{1}$ + $\frac{2^{3}-1}{3}\mathrm{C}_{n}^{2}$ + ... + $\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\mathrm{C}_{n}^{n}$
A: S = $\frac{3^{n+2}-2^{n+2}}{n+2}$
B: S = $\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{n+1}$
C: S = $\frac{3^{n+2}+2^{n+2}}{n+2}$
D: S = $\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{n+1}$
Bài toán 4 [Dương Quốc Nam]
Cho dãy số xác định bởi $u_{1} = 1$; $u_{n+1} = \frac{1}{3}\left(2u_{n} + \frac{n-1}{n^{2}+3n+2} \right)$; $n\in N^{*}$.
Khi đó $u_{2018}$ bằng:
A: $\frac{2^{2016}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019}$
B: $\frac{2^{2018}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019}$
C: $\frac{2^{2017}}{3^{2018}} + \frac{1}{2019}$
D: $\frac{2^{2018}}{3^{2019}} + \frac{1}{2019}$
Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về
TẠI ĐÂY
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam