024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM TOÁN PHỔ THÔNG » Trung học cơ sở » 

Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA trong chứng minh toán học

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12127
Trong thực tế khi làm Toán chúng ta gặp nhiều bài tập số ẩn lớn, giá trị lớn, số bước thực hiện lớn…mà chưa thể tìm được cách giải ngay, chưa hình dung được dữ liệu thay đổi như thế nào khi thực hiện bước tiếp theo thì chúng ta sẽ đưa vài toán về các trường hợp nhỏ hơn, đặc biệt hơn để dễ dàng thực hiện thuật toán hay phân tích, đánh giá và từ đó dự đoán, tìm hướng đi – phương pháp giải cho bài toán ban đầu.
 Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY

Ví dụ cần chứng minh một bất đẳng thức “lạ” với 3 biến a, b, c ta nên đưa bài toán về trường hợp đặc biệt bằng cách giảm số biến của bài toán xuống 2 biến a, b. Một bài toán về trò chơi với 37 tấm thẻ và 327 lượt chơi thì ta quy thử về 3 tấm, 5 tấm thẻ xem thế nào. Một bài toán so sánh với (17091982!)2 ta thử xét n  = 2; n = 3 xem điều gì sẽ xảy ra…đôi khi chân lý bắt đầu từ những điều đơn giản nhất!
Chúng ta cùng theo dõi các ví dụ sau:

Bài toán 1 [Đề thi toán vô địch Hà Lan – năm 1982]
So sánh các số sau:
$(17091982!)^{2}$ và $17091982^{17091982}$
Lời giải:
(chi tiết trong tài liệu đính kèm)

Bài toán 2 [Đề thi Olympic lớp 7 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2017 – 2018]
Trên mặt bàn có 37 tấm thẻ cùng kích thước. Mỗi tấm thẻ có 2 mặt, một mặt màu xanh và một mặt màu đỏ. Lúc đầu người ta xếp tất cả các tấm thẻ đều có mặt màu xanh ngửa lên. Ta thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lượt phải đổi mặt 2 tấm thẻ khác nhau trong 37 tấm thẻ trên mặt bàn. 
Hỏi sau 327 lượt chơi như vậy có thể tất cả 37 tấm thẻ trên bàn đều có mặt màu đỏ lên trên hay không? Tại sao?
Lời giải:
Đây là bài toán suy luận logic khá hay sử dụng tính chẵn lẻ. Thật khó tưởng tượng nếu ta sử dụng đầy đủ 3 7 quân bài và tính xem sau mỗi bước thì số mặt xanh hay đỏ trên mặt bàn là bao nhiêu. Ta lại sử dụng phương pháp đặc biệt hóa, xem xét bài toán nhỏ hơn: với 2 tấm thẻ hoặc 4 tấm thì chỉ cần sau 1 hoặc 2 lượt chơi thì tất cả các mặt đỏ đã được lật, còn với 3 tấm thì sao? 
Thực tế cho thấy rằng sau lượt chơi đầu tiên, trên bàn sẽ có 2 tấm thẻ màu đỏ và 1 tấm thẻ màu xanh, với cách chọn 2 quân tiếp theo bất kỳ thì số mặt xanh còn lại cũng sẽ là 1 hoặc 3(là một số lẻ) nghĩa là không bao giờ đạt được kết quả là lật được tất cả các tấm thẻ có màu đỏ hướng lên trên. Vậy là đã xuất hiện ý tưởng cho việc giải bài toán trên rồi đấy!
Dễ nhận thấy rằng số mặt xanh ban đầu bằng 37(là một số lẻ). Khi thực hiện lật 2 thẻ bất kỳ chỉ có thể xảy ra:
Trường hợp 1:  Nếu lật 2 thẻ đang có mặt xanh, khi đó số mặt xanh trên bàn giảm đi 2 đơn vị.
Trường hợp 2:  Nếu lật 2 thẻ mà có màu đối lập thì số mặt xanh không đổi.
Trường hợp 3:  Nếu lật 2 thẻ đang có mặt đỏ thì số mặt xanh tăng lên 2
Nghĩa là ở bất kỳ trường hợp nào, số mặt xanh sau mỗi lượt chơi vẫn là một số lẻ. Nó không thể bằng 0! Nghĩa là với luật chơi như vậy thì không thể xảy ra trường hợp cả 37 tấm thẻ trên bàn đều có mặt màu đỏ hướng lên trên dù có thực hiện bao nhiêu lần đi nữa.
Lời bình:
Dữ liệu “327” lần trong đề ra chỉ gây rối, nhằm đánh lạc hướng suy nghĩ của người làm, trên thực tế cho thấy việc lật được tất cả các mặt cùng màu hay không chỉ phụ thuộc vào số thẻ(chẵn hay lẻ) chứ không phụ thuộc vào số lượt chơi.

Bài toán 3 [Dương Quốc Nam]
Tính tổng S = $\mathrm{C}_{n}^{0}$ + $\frac{2^{2}-1}{2}\mathrm{C}_{n}^{1}$ + $\frac{2^{3}-1}{3}\mathrm{C}_{n}^{2}$ + ... + $\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\mathrm{C}_{n}^{n}$
A: S = $\frac{3^{n+2}-2^{n+2}}{n+2}$
B: S = $\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{n+1}$
C: S = $\frac{3^{n+2}+2^{n+2}}{n+2}$
D: S = $\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{n+1}$

Bài toán 4 [Dương Quốc Nam]
Cho dãy số xác định bởi $u_{1} = 1$; $u_{n+1} = \frac{1}{3}\left(2u_{n} + \frac{n-1}{n^{2}+3n+2} \right)$; $n\in N^{*}$. 
Khi đó $u_{2018}$ bằng:
A: $\frac{2^{2016}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019}$
B: $\frac{2^{2018}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019}$
C: $\frac{2^{2017}}{3^{2018}} + \frac{1}{2019}$
D: $\frac{2^{2018}}{3^{2019}} + \frac{1}{2019}$

 Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại và gửi tới các em học sinh tài liệu để...
2.905 Lượt xem
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Tiếp tuyến của đường tròn được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và không thể thiếu trong các đề thi tuyển sinh vào lớp...
12.849 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu...
12.633 Lượt xem
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Trực tâm tam giác là kiến thức hình học cơ bản đã được đưa vào chương trình trung học cơ sở. Có rất nhiều bài toán hay và khó liên quan đến tính chất...
12.707 Lượt xem
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Trong chương trình toán học phổ thông, nếu như lớp 6 là sự khởi đầu với những nốt nhạc cơ bản(điểm, đoạn thẳng, góc...) thì từ lớp 7 là sự bùng nổ, sự...
12.132 Lượt xem
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có...
12.071 Lượt xem
Chứng minh bài toán  bằng phương pháp loại trừ
Chứng minh bài toán bằng phương pháp loại trừ
Đây là phương pháp người ta dựa vào các yếu tố nêu trong đề bài để suy luận, dẫn dắt và loại trừ các khả năng, qua đó tìm ra được...
12.092 Lượt xem
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA  trong chứng minh toán học
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA trong chứng minh toán học
Trong thực tế khi làm Toán chúng ta gặp nhiều bài tập số ẩn lớn, giá trị lớn, số bước thực hiện lớn…mà chưa thể tìm được cách giải ngay, chưa hình...
12.127 Lượt xem
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Chương trình lớp 8 là một trong những trọng tâm của Toán trung học cơ sở bởi nó có nhiều dạng toán hay và khó. Dưới đây là một dạng bài toán như vậy,...
12.250 Lượt xem
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở...
12.250 Lượt xem