024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM TOÁN PHỔ THÔNG » Trung học phổ thông » 

Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12082
Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở nên đơn giản với lời giải dễ hiểu. Tuy nhiên cũng cần có sự sáng tạo, linh hoạt trong việc vận dụng các kiến thức cơ bản đã có với từng bài tập cụ thể, nhất là kinh nghiệm qua quá trình học tập, rèn luyện nghiêm túc.
 Chi tiết tài liệu, quý phụ huynh và học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY

Phương pháp này được tiến hành theo 3 bước sau:
Bước 1. Phủ định kết luận (giả sử điều cần chứng minh là sai)
Bước 2. Từ điều giả sử này, bằng các  biến đổi, lý luận suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới mâu thuẫn với giả thiết đã cho hoặc tính chất đúng đã biết của toán học.
Bước 3. Khẳng định tính đúng đắn của bài toán!

Chúng ta cùng xem ví dụ sau:
Bài toán 1 [Đề thi vô địch Anh  – năm 1968]
Giả sử $a_{1}, a_{2},…, a_{7}$ là các số nguyên và $b_{1}, b_{2},…, b_{7}$ cũng là các số nguyên đó nhưng viết theo một thứ tự khác. Chứng minh rằng $(a_{1} – b_{1}).(a_{2} – b_{2})… (a_{7} – b_{7})$ là một số chẵn.
Lời giải:
Giả sử $(a_{1} – b_{1}).(a_{2} – b_{2})… (a_{7} – b_{7})$ là một số lẻ, khi đó tất cả $a_{1} – b_{1}$, $a_{2} – b_{2}$, …, $a_{7} – b_{7}$ đều là các số lẻ và vì 7 là số lẻ ⇒ tổng của chúng cũng phải là số lẻ. Trong khi đó thực tế: $a_{1} – b_{1} + a_{2} – b_{2} + …+ a_{7} – b_{7}$ = $ (a_{1} + a_{2} + … + a_{7})$ – $(b_{1} + b_{2} + … + b_{7}) = 0$ là một số chẵn, mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử là sai, nghĩa là $(a_{1} – b_{1}).(a_{2} – b_{2})… (a_{7} – b_{7})$ là một số chẵn. 
Bài toán được chứng minh.

Lời bình:
Chúng ta có thể mở rộng bài toán như sau: Cho n là số nguyên dương lẻ, giả sử $a_{1}, a_{2},…, a_{n}$ là các số nguyên và $b_{1}, b_{2},…, b_{n}$ cũng là các số nguyên đó nhưng viết theo một thứ tự khác. Khi đó $(a_{1} – b_{1}).(a_{2} – b_{2})… (a_{n} – b_{n})$ là một số chẵn.
Việc tổng quát hay khái quát bài toán giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo, làm được một lớp các dạng toán tương tự. Hơn thế nữa trong quá trình giải các bạn còn tìm được thêm nhiều kết quả, công thức, cách biến đổi để áp dụng vào các bài toán sau này.

Bài toán 2:
Cho 6 số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn 108. Chứng minh rằng: có thể chọn được ba trong 6 số đó chẳng hạn a, b, c sao cho a < b.c; b < c.a và c < a.b.
Lời giải:
Giả sử phản chứng nghĩa là không tồn tại 3 số a, b, c nào trong 6 số thỏa mãn a < b.c; b < c.a và c < a.b.
Khi đó, ký hiệu 6 số đã cho là $a_{1}, a_{2},…, a_{6}$. Theo bài ra $1 ≤ a_{1} < a_{2} < … < a_{6} < 108$ suy ra:
Vì $a_{2} > a_{1} ⇒ a_{2} ≥ 2 ; a_{3} > a_{2} ⇒ a_{3} ≥ 3.$
Ta đã có $a_{2} < a_{3}a_{4}$ và $a_{3} < a_{2}a_{4}  ⇒ a_{4}≥ a_{2}a_{3} ≥ 6,$ tương tự $a_{5} ≥ a_{3}a_{4} ≥ 3.6 = 18$ và $a_{6} ≥ a_{4}a_{5} ≥ 6.18 = 108.$ Mâu thuẫn giả thiết là các số đã cho đều không vượt quá 108!
Vậy giả sử phản chứng là sai và bài toán được chứng minh.

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài toán 3:
Từ những chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta lập thành các số có 7 chữ số khác nhau. Chứng minh rằng trong các số tạo thành không có bất kì số nào chia hết cho những số còn lại.

Bài toán 4 [Đề kiểm tra kiến thức Toán lớp 9 – Đợt 1 – chuyên ĐHKHTN 2023]
Xét 20 số $1 ≤ a_{1} < a_{2} < … < a_{20}  ≤ 70$ nguyên dương. Chứng minh rằng trong các hiệu $a_{k} – a_{j}$ (1 ≤ j < k  ≤ 20) có ít nhất 4 số bằng nhau.

Bài toán 5:
Với a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời a ≥ 2; b ≥ 4; c ≥ 5 và $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ = 56. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c.

Bài toán 6:
Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a, b, c, d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho a, b, c và d. Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.

Hi vọng chuyên đề này sẽ giúp các bạn tìm được niềm vui trong việc học toán và làm toán!
 Chi tiết tài liệu, học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Hà Nội

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội từ năm 2010 đến nay
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi đã tổng hợp, biên soạn lại và gửi tới các em học sinh tài liệu để...
2.721 Lượt xem
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Chuyên đề tiếp tuyến với đường tròn dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 THPT
Tiếp tuyến của đường tròn được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và không thể thiếu trong các đề thi tuyển sinh vào lớp...
12.713 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu...
12.514 Lượt xem
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Các bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác
Trực tâm tam giác là kiến thức hình học cơ bản đã được đưa vào chương trình trung học cơ sở. Có rất nhiều bài toán hay và khó liên quan đến tính chất...
12.554 Lượt xem
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Những bài toán hay về tam giác tù trong chương trình phổ thông
Trong chương trình toán học phổ thông, nếu như lớp 6 là sự khởi đầu với những nốt nhạc cơ bản(điểm, đoạn thẳng, góc...) thì từ lớp 7 là sự bùng nổ, sự...
12.041 Lượt xem
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n(hoặc bắt đầu từ một số nào đó) mà không thể thử trực tiếp được bạn có...
11.981 Lượt xem
Chứng minh bài toán  bằng phương pháp loại trừ
Chứng minh bài toán bằng phương pháp loại trừ
Đây là phương pháp người ta dựa vào các yếu tố nêu trong đề bài để suy luận, dẫn dắt và loại trừ các khả năng, qua đó tìm ra được...
11.969 Lượt xem
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA  trong chứng minh toán học
Phương pháp ĐẶC BIỆT HÓA trong chứng minh toán học
Trong thực tế khi làm Toán chúng ta gặp nhiều bài tập số ẩn lớn, giá trị lớn, số bước thực hiện lớn…mà chưa thể tìm được cách giải ngay, chưa hình...
12.011 Lượt xem
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Một số bài toán hay về hình vuông trong chương trình Toán lớp 8
Chương trình lớp 8 là một trong những trọng tâm của Toán trung học cơ sở bởi nó có nhiều dạng toán hay và khó. Dưới đây là một dạng bài toán như vậy,...
12.127 Lượt xem
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Phương pháp chứng minh phản chứng trong Toán học
Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở...
12.082 Lượt xem