Đây là một phương pháp giải toán rất hay trong toán học nói chung và số học nói riêng, giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán, làm cho chúng trở nên đơn giản với lời giải dễ hiểu. Tuy nhiên cũng cần có sự sáng tạo, linh hoạt trong việc vận dụng các kiến thức cơ bản đã có với từng bài tập cụ thể, nhất là kinh nghiệm qua quá trình học tập, rèn luyện nghiêm túc.
Chi tiết tài liệu, quý phụ huynh và học sinh có thể tải về
TẠI ĐÂY
Phương pháp này được tiến hành theo 3 bước sau:
Bước 1. Phủ định kết luận (giả sử điều cần chứng minh là sai)
Bước 2. Từ điều giả sử này, bằng các biến đổi, lý luận suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới mâu thuẫn với giả thiết đã cho hoặc tính chất đúng đã biết của toán học.
Bước 3. Khẳng định tính đúng đắn của bài toán!
Chúng ta cùng xem ví dụ sau:
Bài toán 1 [Đề thi vô địch Anh – năm 1968]
Giả sử $a_{1}, a_{2},…, a_{7}$ là các số nguyên và $b_{1}, b_{2},…, b_{7}$ cũng là các số nguyên đó nhưng viết theo một thứ tự khác.
Chứng minh rằng $(a_{1} – b_{1}).(a_{2} – b_{2})… (a_{7} – b_{7})$ là một số chẵn.
Lời giải:
Giả sử $(a_{1} – b_{1}).(a_{2} – b_{2})… (a_{7} – b_{7})$ là một số lẻ, khi đó tất cả $a_{1} – b_{1}$, $a_{2} – b_{2}$, …, $a_{7} – b_{7}$ đều là các số lẻ và vì 7 là số lẻ ⇒ tổng của chúng cũng phải là số lẻ. Trong khi đó thực tế: $a_{1} – b_{1} + a_{2} – b_{2} + …+ a_{7} – b_{7}$ = $ (a_{1} + a_{2} + … + a_{7})$ – $(b_{1} + b_{2} + … + b_{7}) = 0$ là một số chẵn, mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử là sai, nghĩa là $(a_{1} – b_{1}).(a_{2} – b_{2})… (a_{7} – b_{7})$ là một số chẵn.
Bài toán được chứng minh.
Lời bình:
Chúng ta có thể mở rộng bài toán như sau: Cho n là số nguyên dương lẻ, giả sử $a_{1}, a_{2},…, a_{n}$ là các số nguyên và $b_{1}, b_{2},…, b_{n}$ cũng là các số nguyên đó nhưng viết theo một thứ tự khác. Khi đó $(a_{1} – b_{1}).(a_{2} – b_{2})… (a_{n} – b_{n})$ là một số chẵn.
Việc tổng quát hay khái quát bài toán giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo, làm được một lớp các dạng toán tương tự. Hơn thế nữa trong quá trình giải các bạn còn tìm được thêm nhiều kết quả, công thức, cách biến đổi để áp dụng vào các bài toán sau này.
Bài toán 2:
Cho 6 số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn 108. Chứng minh rằng: có thể chọn được ba trong 6 số đó chẳng hạn a, b, c sao cho a < b.c; b < c.a và c < a.b.
Lời giải:
Giả sử phản chứng nghĩa là không tồn tại 3 số a, b, c nào trong 6 số thỏa mãn a < b.c; b < c.a và c < a.b.
Khi đó, ký hiệu 6 số đã cho là $a_{1}, a_{2},…, a_{6}$. Theo bài ra $1 ≤ a_{1} < a_{2} < … < a_{6} < 108$ suy ra:
Vì $a_{2} > a_{1} ⇒ a_{2} ≥ 2 ; a_{3} > a_{2} ⇒ a_{3} ≥ 3.$
Ta đã có $a_{2} < a_{3}a_{4}$ và $a_{3} < a_{2}a_{4} ⇒ a_{4}≥ a_{2}a_{3} ≥ 6,$ tương tự $a_{5} ≥ a_{3}a_{4} ≥ 3.6 = 18$ và $a_{6} ≥ a_{4}a_{5} ≥ 6.18 = 108.$ Mâu thuẫn giả thiết là các số đã cho đều không vượt quá 108!
Vậy giả sử phản chứng là sai và bài toán được chứng minh.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài toán 3:
Từ những chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta lập thành các số có 7 chữ số khác nhau. Chứng minh rằng trong các số tạo thành không có bất kì số nào chia hết cho những số còn lại.
Bài toán 4 [Đề kiểm tra kiến thức Toán lớp 9 – Đợt 1 – chuyên ĐHKHTN 2023]
Xét 20 số $1 ≤ a_{1} < a_{2} < … < a_{20} ≤ 70$ nguyên dương. Chứng minh rằng trong các hiệu $a_{k} – a_{j}$ (1 ≤ j < k ≤ 20) có ít nhất 4 số bằng nhau.
Bài toán 5:
Với a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời a ≥ 2; b ≥ 4; c ≥ 5 và $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ = 56.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c.
Bài toán 6:
Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a, b, c, d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho a, b, c và d. Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
Hi vọng chuyên đề này sẽ giúp các bạn tìm được niềm vui trong việc học toán và làm toán!
Chi tiết tài liệu, học sinh có thể tải về
TẠI ĐÂY
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Hà Nội