1. Tiếp tuyến của đường tròn là gì?
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
2. Tính chất của tiếp tuyến
- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì qua tâm.
- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.
3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
- Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
- Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
4. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Định lý: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là số đo của góc tạo bởi dây cung đường tròn và tia tiếp tuyến được xác định bằng góc cung bị chắn.
Hệ quả: Trong đường tròn thì góc được tạo bởi dây cung và tia tiếp tuyến có số đo bằng góc nội tiếp cùng chắn dây cung đó.
Cho 2 đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc trong tại A(R > R'). Dây cung AC của (O) cắt (O') ở B. Tiếp tuyến với (O') tại A và B cắt nhau tại D. DB kéo dài cắt (O) Tại E.
Chứng minh rằng AD, EC, CD lập thành độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông.
Phân tích và hướng dẫn giải:
Trong hình học, phương pháp "SUY LUẬN NGƯỢC" được dùng khá phổ biến và rất hiệu quả với nhiều bài toán. Trường hợp này cũng không ngoại lệ.
Nhìn hình vẽ có thể đoán được cần phải chỉ ra : $DA^{2} + EC^{2}$ = $CD^{2}$. Giả sử có đẳng thức đó, kết hợp với $DA^{2} = DF.DC$ suy ra $EC^{2} = CF.CD$ nghĩa là $\triangle ECD \sim \triangle FCE$ $\Rightarrow \angle BDF = \angle FBC$, mà $\angle FBC = \angle BAF$ suy ra $\angle BDF = \angle BAF$ nghĩa là tứ giác ABFD là tứ giác nội tiếp. Việc chứng minh này không khó và đây cũng chính là điểm khởi đầu cho cách giải bài toán trên.
Thật vậy,
Gọi giao điểm của CD với (O) là F. Sử dụng tính chất của tiếp tuyến và cát tuyến xuất phát từ cùng một điểm với (O) ta có $DA^{2} = DF.DC$. (1)
Mặt khác $\angle AFD = \angle AEC$ (cùng bù với góc AFC), $\angle AEC = \angle DAC$ (cùng chắn cung AC), $\angle DAC = \angle ABD$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra $\angle AFD = \angle ABD$ hay tứ giác ABFD nội tiếp, suy ra $\triangle ECD \sim \triangle FCE$.
Suy ra: $\frac{EC}{CF} = \frac{CD}{EC}$ hay $EC^{2} = CF.CD$ (2)
Từ (1) và (2) ta được: $DA^{2} + EC^{2}$ = $CF.CD + DF.DC$ = $CD.(CF + FD)$ = $CD^{2}$ hay AD, EC, CD lập thành độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông.
Bài toán được chứng minh.
Bài toán 2. (Jean-Pol Coulon on Romantics of Gometry 2023)
Cho 2 đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc trong tại A(R > R'). Dây cung AC của (O) cắt (O') ở B. Tiếp tuyến với (O') tại A và B cắt nhau tại D. DB cắt (O) tại G và kéo dài cắt (O) Tại E.
Chứng minh rằng CG là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác GFD.
Phân tích và hướng dẫn giải:
Đây là bài toán khá hay, sáng tạo từ Bài toán 1 nêu trên. Vì O, O' và A thẳng hàng, bằng cách nối các điểm như hình vẽ, dễ nhận thấy các tam giác O'AB và tam giác OAC cân.
Suy ra O'B // OC. Kết hợp với $O'B \bot GE \Rightarrow OC \bot GE$ $\Rightarrow$ C là điểm chính giữa của cung EG, suy ra $\widehat{GDF} = \frac{1}{2}\left ( \mathop sd {EC}^{\displaystyle\frown} - \mathop sd {GF}^{\displaystyle\frown} \right )$ = $\frac{1}{2}\left ( \mathop sd {CG}^{\displaystyle\frown} - \mathop sd {GF}^{\displaystyle\frown} \right )$ = $\frac{1}{2}\left ( \mathop sd {CF}^{\displaystyle\frown} \right )$ = $\widehat{CGF}$.
Suy ra CG là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác GFD.
Lưu ý: Có thể dùng kết quả này để chứng minh cho Bài toán 1.
Bài toán 3. (Đề thi Toán vào lớp 10 - Hà Nội năm 2023)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt BC tại S. Gọi I là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng BC.
a) Chứng minh tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp
b) Gọi H và D lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến SO và SC. Chứng minh $\angle OAH = \angle IAD$.
c) Vẽ đường cao CE của tam giác ABC. Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng BE. Đường thẳng QD cắt AH tại K. Chứng minh rằng BQ.BA = BD.BI và đường thẳng CK song song với đường thẳng SO.
Phân tích và hướng dẫn giải:
a) Theo bài ra ta có $OI \bot IS, OA \bot AS$. Xét tứ giác SAOI có tổng 2 góc đối $\angle OAS + \angle OIS = 90^{0}$ suy ra SAOI là tứ giác nội tiếp (đpcm).
b) Theo phần a) ta đã có SAOI là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle IAO = \angle OSI$
Mặt khác $AH \bot SH, AD \bot SD$, suy ra tứ giác AHDS nội tiếp $\Rightarrow \angle HAD = \angle HSD$. Do đó $\Rightarrow \angle IAO = \angle HAD$
Mà $\angle OAH = \angle OAI + \angle IAH$, $\angle IAD = \angle DAH + \angle IAH$
Suy ra $\angle OAH = \angle IAD$ (đpcm).
c) Dễ thấy IQ là đường trung bình của tam giác BEC suy ra $IQ \bot QA$, $AD \bot DI$ (theo giả thiết) $\Rightarrow$ AQDI là tứ giác nội tiếp. Sử dụng tính chất 2 cát tuyến xuất phát từ một điểm tới đường tròn ta có ngay BQ.BA = BD.BI.
Để chứng minh CK // SO, cũng tương tự như Bài toán 1 ở trên, chúng ta dùng phương pháp suy luận ngược để tìm hướng giải cho câu hỏi này:
Giả sử có CK // SO, vì AH vuông góc SO suy ra $KC \bot KA$. Kết hợp với $DA \bot DC$ $\Rightarrow$ ADKC là tứ giác nội tiếp. Lúc này $\angle KAC = \angle KDC$ $\Rightarrow \angle KAC = \angle QDB$. Vì AQDI là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle QDB = \angle QAI$. Do vậy cần chỉ ra $\angle QAD = \angle OAC$ và ta quay về bài toán rất quen thuộc.
Trở lại vấn đề:
Ta có $\angle QAD = 90^{0} - \angle B$ = $90^{0} - \angle AOC/2$ = $90^{0} - (180^{0} - 2 \angle OAC)/2$ = $\angle OAC$
Kết hợp với phần b) đã có $\angle OAH = \angle IAD$ suy ra $\angle KAC = \angle QAI$
Mặt khác AQDI là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle QDB = \angle QAI$(cùng phụ với góc BDI), $\angle QDB = \angle KDC$ (đối đỉnh) suy ra $\angle KAC = \angle KDC$ $\Rightarrow$ ADKC là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow$ $\angle AKC = \angle ADC = 90^{0}$ đồng nghĩa với CK // SO.
Đến đây bài toán được chứng minh hoàn chỉnh.
Bài toán 4. Cho 2 đường tròn (O; R) và (O'; R') ở ngoài nhau. Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài, CD là tiếp tuyến chung trong. Biết rằng AB = 2CD và R = 6cm, R' = 2cm. Tính độ dài OO'.
Lời giải:
Gọi H và I là hình chiếu của O' lên OA và OB (như hình vẽ). Đặt CD = x(x >0), khi đó AB = 2x.
Sử dụng định lý Pi-ta-go đối với các tam giác vuông OHO' và OIO' ta có:
$OO'^{2} = O'H^{2} + OH^{2}$ = 16 + 4$x^{2}$
$OO'^{2} = O'I^{2} + OI^{2}$ = 64 + $x^{2}$
Suy ra $OO'^{2} = 240 \Rightarrow OO' = 4\sqrt{5}$
Bài toán 5. (Đề thi vào khối THPT chuyên Sư phạm Hà Nội)
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10. Dây cung CD vuông góc với AB tại E sao cho AE = 1. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, AK và CE cắt nhau tại M.
a) Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK.
b) Tính BK.
c) Ttính diện tích tam giác CKM
Hướng dẫn giải:
a) Gọi F là giao điểm của OK và BC. Khi đó OF // AC(cùng vuông góc với BC) $\Rightarrow \angle KOB = \angle CAE $. Do đó 2 tam giác vuông AEC và OBK đồng dạng.
b) Dễ thấy OE = 4, OC = 5. Sử dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông OEC ta thu được CE = 3.
Theo câu a) ta có $\triangle AEC \sim \triangle OBK$, suy ra AE/OB = CE/BK $\Rightarrow BK = 15$
c) Do ME // BK(cùng vuông góc với AB), sử dụng hệ quả của định lý Talet ta được: ME/BK = AE/AB $\Rightarrow ME = 3/2$.
Do đó $S_{\triangle CKM} = \frac{27}{4}$
Bài toán 6. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn(không trùng với A và B). Tiếp tuyến với (O) tại A và M cắt nhau tại C. Gọi H là hình chiếu của M lên AB. Chứng minh rằng CB đi qua trung điểm của HM.
Hướng dẫn giải:
Gọi G là trung điểm của MH, E là giao điểm AM với CO, F là giao điểm CA và GE.
Đặt OH = x (quy ước x < 0 nếu H nằm bên trái của O)
Khi đó cần chỉ ra $\triangle CAB \sim \triangle GHB$ $\Rightarrow$ C, G, B thẳng hàng.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài toán 7. (Đề thi Toán vào lớp 10 chuyên Tin - Hà Nội năm 2023)
Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (R < R'< OO'). Gọi PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O') với P thuộc (O) và Q thuộc (O'). Đường thẳng PQ cắt đường thẳng OO' tại điểm S. Qua điểm S vẽ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F và cắt đường tròn (O') tại hai điểm G, H sao cho SE < SF < SG < SH.
a) Chứng minh đường thẳng OE song song với đường thẳng O'G.
b) Chứng minh $SA^{2} = SP.SQ$
c) Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) căt đường thẳng OO' tại điểm M. Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O') cắt đường thẳng OO' tại điểm N. Đường thẳng ME cắt đoạn thẳng AB tại điểm I. Chứng minh $EA^{2}$ / $EB^{2} = IA / IB$ và ba điểm N, I, H là ba điểm thẳng hàng.
Bài toán 8. (Đề thi Toán vào lớp 10 - Hà Nội năm 2022)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CA. Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn (C;CA) (M là tiếp điểm, M và A nằm khác phía đối với đường thẳng BC).
a) Chứng minh bốn điểm A, C, M và B cùng thuộc một đường tròn.
b) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A, N khác B). Lấy điểm P thuộc tia đối của tia MB sao cho MP = AN. Chứng minh CPN là tam giác cân và đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP.
Bài toán 9. (Đề thi vào lớp chuyên toán Đại học Sư phạm TP HCM)
Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt đường tròn tại B, C phân biệt. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. Đường thẳng qua D vuông góc với OA cắt đường tròn E và F (E thuộc đoạn DF). Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh:
a) 5 điểm A, E, M, O, F cùng thuộc một đường tròn.
b) AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài toán 10. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn này lấy điểm C sao cho AC = AB. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của đường tròn (O; R), với D là tiếp điểm.
a) Chứng minh rằng ACDO là một tứ giác nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của AD và OC. Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH, AD.
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam