024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI » Đại số » 

Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12279
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPT, các lớp 10 năng khiếu toán và trong các kì thi học sinh giỏi các cấp với độ khó ngày càng cao.
Với mong muốn tạo ra một tài liệu thể hiện được các phương pháp giải phương trình cùng với các hướng tiếp cận, đưa ra phương pháp tư duy và các phép suy luận để tìm ra được lời giải một cách tối ưu. Trong bài viết này chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp đơn giản nhất là HẰNG ĐẲNG THỨC để giải một lớp các bài toán dạng như vậy.

Bài toán 1: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Giảng Võ, 22/05/2023]
Giải phương trình $(5x+22)(2\sqrt{x}-\sqrt{2x+1})$ = $12x - 6$.
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 0, khi đó bằng cách nhân liên hợp ta được:
$(5x+22)(2\sqrt{x}-\sqrt{2x+1})$ = $12x - 6$
$\Leftrightarrow$ $\frac{(5x+22)(2x-1)}{2\sqrt{x}+\sqrt{2x+1}}$ = $6(2x - 1)$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)(5x+22-12\sqrt{x}-6\sqrt{2x+1})$ $= 0$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)[3(x -4\sqrt{x} +4) + (2x + 1 - 6\sqrt{2x+1} + 9)]$ = $0$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)[3(\sqrt{x}-2)^{2}+(\sqrt{2x+1}-3)^{2}]$ = $0$
$\Leftrightarrow$ x = 1/2 hoặc x = 4 (thỏa mãn).
Vậy tập các giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài ra là S = {1/2; 4}.

Bài toán 2: [Đề thi HSG toán 9 tình Bắc Giang năm học 2022-2023]
Giải phương trình $4(x-2)\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$ = $9(x^{2}-3x+2)\sqrt{2x-2}$
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 1, khi đó:
$4(x-2)\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$ = $9(x^{2}-3x+2)\sqrt{2x-2}$
$\Leftrightarrow$ $4(x-2)\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$ = $9(x-1)(x-2)\sqrt{2x-2}$
$\Leftrightarrow$ $(x-2)[4\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$ - $9(x-1)\sqrt{2x-2}]$ = 0
$\Leftrightarrow$ $(x-2)[2\sqrt{(x + 1)+2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x -1)}$ - $9(x-1)\sqrt{x-1}]$ = 0
$\Leftrightarrow$ $(x-2)[2(\sqrt{x + 1}+\sqrt{x-1})$ - $9(x-1)\sqrt{x-1}]$ = 0
Xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: x - 2 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 2
Trường hợp 2: $2(\sqrt{x + 1}+\sqrt{x-1})$ - $9(x-1)\sqrt{x-1}$ = 0
Bằng cách đặt $\sqrt{x + 1}$ = u; $\sqrt{x-1})$ = v ta được:
$\left\{ \begin{array}{cl}2(u+v) - 9v^{3} =0(*) \\u^{2} - v^{2}=2(**)\end{array} \right.$
Thế (**) vào (*) : $(u^{2} - v^{2})(u+v)$ = $9v^{3}$
Để ý rằng x = 1 không phải là nghiệm của phương trình, nghĩa là $v \neq 0 $, chia cả 2 vế cho $v^{3}$ và đặt $\frac{u}{v} = t (t\gt 0)$ ta chuyển về phương trình:
$t^{3} + t^{2} - t - 10 = 0$
$\Leftrightarrow$ $(t - 2)(t^{2} + 3t + 5) = 0$
Vì $t\gt 0 \Rightarrow t = 2$  $\Rightarrow x = \frac{5}{3}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {5/3; 2}
Nhận xét: đối với bài toán này quan trọng là HS nhận ra hằng đẳng thức $2x+2\sqrt{x^{2}-1}$ = $(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^{2}$.

Bài toán 3: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023]
Giải phương trình: $3x +2\sqrt{4x+5} = 1+4\sqrt{x+3}$.
Lời giải:
Điều kiện: $x\geq \frac{-5}{4}$
Khi đó:
$3x +2\sqrt{4x+5} = 1+4\sqrt{x+3}$
$\Leftrightarrow 4x+5+2\sqrt{4x+5}+1=x+3+4\sqrt{x+3}+4$
$\Leftrightarrow (\sqrt{4x+5}+1)^{2}=(\sqrt{x+3}+2)^{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}+1=\sqrt{x+3}+2$
$\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}=\sqrt{x+3}+1$
$\Leftrightarrow 4x+5=x+4+2\sqrt{x+3}$
$\Leftrightarrow 3x+1=2\sqrt{x+3}$
$\Leftrightarrow x=1$
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài toán 4: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 22/05/2023]
Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 3/2, khi đó:
$\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}+4x$ + $4x-6$  + $2\sqrt{(x^{2}+4x)(4x-6)}$ = $3x^{2}+7x+2$
$\Leftrightarrow$ $2x^{2}-x + 8$ - $2\sqrt{(x^{2}+4x)(4x-6)}$ = 0
$\Leftrightarrow$ $(2x^{2}-3x)$ - $2\sqrt{(2x+8)(2x^2-3x)}$ + $(2x+8)$ = 0
$\Leftrightarrow$ $\left(\sqrt{2x^2 -3x} - \sqrt{2x+8}  \right)^{2}$ = 0
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2x^2 -3x} = \sqrt{2x+8}$
$\Leftrightarrow$ $2x^2 - 5x - 8 = 0$
$\Leftrightarrow$ $x = \frac{5+\sqrt{89}}{4}$ (thỏa mãn) hoặc $x = \frac{5-\sqrt{89}}{4}$ (loại)
Vậy $x = \frac{5+\sqrt{89}}{4}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài toán 5: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên KHTN - vòng 1, năm 2022]
Giải phương trình: $(\sqrt[3]{x+6}+\sqrt[3]{3-x})$$[2+3\sqrt[3]{(x+6)(3-x)}]$ = 24
Gợi ý:
Đặt ẩn phụ và sử dụng hằng đẳng thức $a^{3} + b^{3}$ = $(a+b)^{3}$ $- 3ab(a+b)$
Bài toán 6:
Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x} = x\sqrt{\sqrt{3}+x}$
Gợi ý:
Bình phương 2 vế để khử căn thức và quy về phương trình bậc 3 đơn giản.
Bài toán 7:
Giải phương trình $\sqrt[3]{1-\sqrt{x}} + \sqrt[3]{1+\sqrt{x}} = 2$
Gợi ý:
Lập phương 2 vế và sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^{3}$ = $a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$
và sử dụng phép thế a + b bạn đầu.
Bài toán 8: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên KHTN - vòng 2, năm 2014]
Giải phương trình: $x+3 +\sqrt{1-x^{2}}$ =  $3\sqrt{x+1} +\sqrt{1-x}$.
Bài toán 9: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên KHTN - vòng 1, năm 2017]
Giải phương trình: $2(x+1)\sqrt{x+1}$ = $(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})(2 - \sqrt{1-x^{2}})$.
Bài toán 10: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên KHTN - vòng 2, năm 2018]
Giải phương trình: $9+3\sqrt{x(3-2x)}$ = $7\sqrt{x}+5\sqrt{3-2x}$.
Bài toán 11:
Giải phương trình: $4x^{2} + 3x + 3$ = $4x\sqrt{x+3} + 2\sqrt{2x-1}$.
Bài toán 12: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên Amsterdam - năm 2014]
Giải phương trình: $x(5x^{3}+2)$$ - 2(\sqrt{2x+1}-1) = 0$.
Bài toán 13: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - năm 2014]
Giải phương trình: $(2x+1)\sqrt{x+2}$ = $x^2+2x+2$.
Bài toán 14: [Đề thi vào 10 ĐHQG Hà Nội - năm 2018]
Giải phương trình: $(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(2+2\sqrt{1-x^2}) = 8$.
Bài toán 15: 
Giải phương trình: $x^{2}-5x +14 =4\sqrt{x+1}$.
Gợi ý: Đưa phương trình về dạng tổng 2 bình phương.

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Hà Nội

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.907 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.908 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
6.024 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.465 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.167 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.279 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.268 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
12.013 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.069 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.133 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng  và ứng dụng
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.227 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.182 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.148 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.366 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.114 Lượt xem