Với mong muốn tạo ra một tài liệu thể hiện được các phương pháp giải phương trình cùng với các hướng tiếp cận, đưa ra phương pháp tư duy và các phép suy luận để tìm ra được lời giải một cách tối ưu. Trong bài viết này chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp đơn giản nhất là HẰNG ĐẲNG THỨC để giải một lớp các bài toán dạng như vậy.
Bài toán 1: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Giảng Võ, 22/05/2023]
Giải phương trình $(5x+22)(2\sqrt{x}-\sqrt{2x+1})$ = $12x - 6$.
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 0, khi đó bằng cách nhân liên hợp ta được:
$(5x+22)(2\sqrt{x}-\sqrt{2x+1})$ = $12x - 6$
$\Leftrightarrow$ $\frac{(5x+22)(2x-1)}{2\sqrt{x}+\sqrt{2x+1}}$ = $6(2x - 1)$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)(5x+22-12\sqrt{x}-6\sqrt{2x+1})$ $= 0$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)[3(x -4\sqrt{x} +4) + (2x + 1 - 6\sqrt{2x+1} + 9)]$ = $0$
$\Leftrightarrow$ $(2x-1)[3(\sqrt{x}-2)^{2}+(\sqrt{2x+1}-3)^{2}]$ = $0$
$\Leftrightarrow$ x = 1/2 hoặc x = 4 (thỏa mãn).
Vậy tập các giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài ra là S = {1/2; 4}.
Bài toán 2: [Đề thi HSG toán 9 tình Bắc Giang năm học 2022-2023]
Giải phương trình $4(x-2)\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$ = $9(x^{2}-3x+2)\sqrt{2x-2}$
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 1, khi đó:
$4(x-2)\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$ = $9(x^{2}-3x+2)\sqrt{2x-2}$
$\Leftrightarrow$ $4(x-2)\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$ = $9(x-1)(x-2)\sqrt{2x-2}$
$\Leftrightarrow$ $(x-2)[4\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}$ - $9(x-1)\sqrt{2x-2}]$ = 0
$\Leftrightarrow$ $(x-2)[2\sqrt{(x + 1)+2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x -1)}$ - $9(x-1)\sqrt{x-1}]$ = 0
$\Leftrightarrow$ $(x-2)[2(\sqrt{x + 1}+\sqrt{x-1})$ - $9(x-1)\sqrt{x-1}]$ = 0
Xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: x - 2 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 2
+ Trường hợp 2: $2(\sqrt{x + 1}+\sqrt{x-1})$ - $9(x-1)\sqrt{x-1}$ = 0
Bằng cách đặt $\sqrt{x + 1}$ = u; $\sqrt{x-1})$ = v ta được:
$\left\{ \begin{array}{cl}2(u+v) - 9v^{3} =0(*) \\u^{2} - v^{2}=2(**)\end{array} \right.$
Thế (**) vào (*) : $(u^{2} - v^{2})(u+v)$ = $9v^{3}$
Để ý rằng x = 1 không phải là nghiệm của phương trình, nghĩa là $v \neq 0 $, chia cả 2 vế cho $v^{3}$ và đặt $\frac{u}{v} = t (t\gt 0)$ ta chuyển về phương trình:
$t^{3} + t^{2} - t - 10 = 0$
$\Leftrightarrow$ $(t - 2)(t^{2} + 3t + 5) = 0$
Vì $t\gt 0 \Rightarrow t = 2$ $\Rightarrow x = \frac{5}{3}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {5/3; 2}
Nhận xét: đối với bài toán này quan trọng là HS nhận ra hằng đẳng thức $2x+2\sqrt{x^{2}-1}$ = $(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^{2}$.
Bài toán 3: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023]
Giải phương trình: $3x +2\sqrt{4x+5} = 1+4\sqrt{x+3}$.
Lời giải:
Điều kiện: $x\geq \frac{-5}{4}$
Khi đó:
$3x +2\sqrt{4x+5} = 1+4\sqrt{x+3}$
$\Leftrightarrow 4x+5+2\sqrt{4x+5}+1=x+3+4\sqrt{x+3}+4$
$\Leftrightarrow (\sqrt{4x+5}+1)^{2}=(\sqrt{x+3}+2)^{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}+1=\sqrt{x+3}+2$
$\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}=\sqrt{x+3}+1$
$\Leftrightarrow 4x+5=x+4+2\sqrt{x+3}$
$\Leftrightarrow 3x+1=2\sqrt{x+3}$
$\Leftrightarrow x=1$
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài toán 4: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 22/05/2023]
Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.
Lời giải:
Điều kiện x ≥ 3/2, khi đó:
$\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}+4x$ + $4x-6$ + $2\sqrt{(x^{2}+4x)(4x-6)}$ = $3x^{2}+7x+2$
$\Leftrightarrow$ $2x^{2}-x + 8$ - $2\sqrt{(x^{2}+4x)(4x-6)}$ = 0
$\Leftrightarrow$ $(2x^{2}-3x)$ - $2\sqrt{(2x+8)(2x^2-3x)}$ + $(2x+8)$ = 0
$\Leftrightarrow$ $\left(\sqrt{2x^2 -3x} - \sqrt{2x+8} \right)^{2}$ = 0
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2x^2 -3x} = \sqrt{2x+8}$
$\Leftrightarrow$ $2x^2 - 5x - 8 = 0$
$\Leftrightarrow$ $x = \frac{5+\sqrt{89}}{4}$ (thỏa mãn) hoặc $x = \frac{5-\sqrt{89}}{4}$ (loại)
Vậy $x = \frac{5+\sqrt{89}}{4}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài toán 5: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên KHTN - vòng 1, năm 2022]
Giải phương trình: $(\sqrt[3]{x+6}+\sqrt[3]{3-x})$$[2+3\sqrt[3]{(x+6)(3-x)}]$ = 24
Gợi ý:
Đặt ẩn phụ và sử dụng hằng đẳng thức $a^{3} + b^{3}$ = $(a+b)^{3}$ $- 3ab(a+b)$
Bài toán 6:
Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x} = x\sqrt{\sqrt{3}+x}$
Gợi ý:
Bình phương 2 vế để khử căn thức và quy về phương trình bậc 3 đơn giản.
Bài toán 7:
Giải phương trình $\sqrt[3]{1-\sqrt{x}} + \sqrt[3]{1+\sqrt{x}} = 2$
Gợi ý:
Lập phương 2 vế và sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)^{3}$ = $a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$
và sử dụng phép thế a + b bạn đầu.
Bài toán 8: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên KHTN - vòng 2, năm 2014]
Giải phương trình: $x+3 +\sqrt{1-x^{2}}$ = $3\sqrt{x+1} +\sqrt{1-x}$.
Bài toán 9: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên KHTN - vòng 1, năm 2017]
Giải phương trình: $2(x+1)\sqrt{x+1}$ = $(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})(2 - \sqrt{1-x^{2}})$.
Bài toán 10: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên KHTN - vòng 2, năm 2018]
Giải phương trình: $9+3\sqrt{x(3-2x)}$ = $7\sqrt{x}+5\sqrt{3-2x}$.
Bài toán 11:
Giải phương trình: $4x^{2} + 3x + 3$ = $4x\sqrt{x+3} + 2\sqrt{2x-1}$.
Bài toán 12: [Đề thi vào 10 Trường THPT chuyên Amsterdam - năm 2014]
Giải phương trình: $x(5x^{3}+2)$$ - 2(\sqrt{2x+1}-1) = 0$.
Bài toán 13: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - năm 2014]
Giải phương trình: $(2x+1)\sqrt{x+2}$ = $x^2+2x+2$.
Bài toán 14: [Đề thi vào 10 ĐHQG Hà Nội - năm 2018]
Giải phương trình: $(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(2+2\sqrt{1-x^2}) = 8$.
Bài toán 15:
Giải phương trình: $x^{2}-5x +14 =4\sqrt{x+1}$.
Gợi ý: Đưa phương trình về dạng tổng 2 bình phương.
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Hà Nội