024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI » Đại số » 

Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12163
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN, GTLN thường là bài cuối cùng trong các đề dùng để phân loại học sinh, trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, thi vào các trường chuyên lớp chọn.
Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thức cổ điển quan trọng bậc nhất, thông dụng nhất. Tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). 
Có nhiều cách để chứng minh nhưng cách chứng minh quy nạp của nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857) được đánh giá là hay, hiệu quả nên nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức nêu trên nhưng thực tế ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất đẹp của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên(theo wikipedia.org). Và cũng do cách chứng minh đặc sắc này mà chúng ta hay gọi là bất đẳng thức Cauchy.

CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bất đẳng thức Cauchy(AM - GM)
Cho n(n ∈ N,n ≥ 2) số thực dương $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$ khi đó:
$\frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}$ ≥ $\sqrt[n]{x_{1}.x_{2}…x_{n}}$
Hoặc được viết dưới các dạng khác:
1. $x_{1}+x_{2}+…+x_{n}$ ≥ n$\sqrt[n]{x_{1}.x_{2}…x_{n}}$
2. $\left( \frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n} \right)^{n}$ ≥ $x_{1}.x_{2}…x_{n}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}=x_{2}=…=x_{n}$.
Lưu ý:
Đa số bài toán không xuất hiện ngay định dạng để áp dụng ngay mà phải thêm bớt, biến đổi. Kinh nghiệm để biến đổi là sử dụng và dự đoán điều kiện để dấu “=” xảy ra rồi nhân chia cộng trừ hoặc đổi biến cho thích hợp.
Trong các đề thi cũng chỉ 2, 3 số(hoặc 2, 3 bộ số) nên học sinh cần phải nhớ các trường hợp đơn giản này: với x, y ≥ 0 thì x + y ≥ 2√xy, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc với 3 số a, b, c ≥ 0 khi đó a + b + c ≥ 3∛abc, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Với các bài toán đặc biệt có mẫu số, nếu áp dụng ngay sẽ dẫn đến bất đẳng thức bị đổi chiều và khi đó ta không thể sử dụng tính chất bắc cầu, do vậy cần phải tinh tế trong biến đổi, cụ thể là cố gắng thêm bớt để tạo ra dấu “–” trước các phân số đó và người ta gọi đó là “kỹ thuật Cauchy ngược hướng”.
Chúng ta cùng xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn:
 Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

Bài toán 1: [Đề thi HSG lớp 9 huyện Gia Lâm – Hà Nội 2022 – 2023]
Cho a, b, c, d là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{a^2+b^2}$ + $\frac{b^3}{b^2+c^2}$ + $\frac{c^3}{c^2+d^2}$ + $\frac{d^3}{d^2+a^2}$  ≥  $\frac{a+b+c+d}{2}$
Lời giải:
Dự đoán rằng dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d và cũng là đủ để áp dụng BĐT AM – GM với các mẫu số. Tuy nhiên khi đó bất đẳng thức sẽ đổi chiều!
Vì vậy ta sẽ biến đổi như sau:
$\frac{a^3}{a^2+b^2} = \frac{a^3 +ab^2 -ab^2}{a^2+b^2} = a -\frac{ab^2}{a^2+b^2}$
Vì $a^2+ b^2 ≥ 2ab$ nên $\frac{ab^2}{a^2+b^2}$ ≤ $\frac{b}{2}$ suy ra $a -\frac{ab^2}{a^2+b^2}$ ≥  $a-\frac{b}{2}$. 
Chứng minh tương tự ta cũng thu được:
$\frac{b^3}{b^2+c^2}$ ≥  $b-\frac{c}{2}$, $\frac{c^3}{c^2+d^2}$ ≥  $c-\frac{d}{2}$ và $\frac{d^3}{d^2+a^2}$ ≥  $d-\frac{a}{2}$.
Do đó: $\frac{a^3}{a^2+b^2} + \frac{b^3}{b^2+c^2}$ + $\frac{c^3}{c^2+d^2} + \frac{d^3}{d^2+a^2}$ ≥ $a-\frac{b}{2}$ + $b-\frac{c}{2}$ + $c-\frac{d}{2}$ + $d-\frac{a}{2}$ = $\frac{a+b+c+d}{2}$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d. Bài toán được chứng minh.

Bài toán 2:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ + $\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}$ + $\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$  ≥  $\frac{a+b+c}{3}$.
Lời giải:
Cách làm bài này cũng tương tự bài trên, hs tự giải hoặc tham khảo trong file đính kèm.

Bài toán 3:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{1+9b^2}$ + $\frac{b}{1+9c^2}$ + $\frac{c}{1+9a^2}$ ≥  $\frac{1}{2}$.
Lời giải:
Với đề bài như thế này chúng ta dễ dàng đoán được điều kiện dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3. Khi đó 1 = $9a^2$ = $9b^2$ = $9c^2$ và nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên do các biểu thức $1+9a^2$, $1+9b^2$, $1+9c^2$ nằm dưới mẫu nên nếu sử dụng ngay sẽ dẫn đến bất đẳng thức bị đảo chiều! Do đó cũng như các ví dụ trên, ta thêm bớt như sau:
Đặt S = $\frac{a}{1+9b^2}$ + $\frac{b}{1+9c^2}$ + $\frac{c}{1+9a^2}$  khi đó:
S = $\frac{a(1+9b^2)-9ab^2}{1+9b^2}$ + $\frac{a(1+9b^2)-9ab^2}{1+9b^2}$ + $\frac{a(1+9b^2)-9ab^2}{1+9b^2}$ = (a + b + c) - $\left( \frac{9ab^2}{1+9b^2} + \frac{9bc^2}{1+9c^2} + \frac{9ca^2}{1+9a^2} \right)$ = 1 - $\left( \frac{9ab^2}{1+9b^2} + \frac{9bc^2}{1+9c^2} + \frac{9ca^2}{1+9a^2} \right)$.
Đến đây sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
1 + $9b^2$ ≥ 6b, 1 + $9c^2$ ≥ 6c, 1 + $9a^2$ ≥ 6a, suy ra: $\frac{9ab^2}{1+9b^2} + \frac{9bc^2}{1+9c^2} + \frac{9ca^2}{1+9a^2}$ ≤ $\frac{3}{2}$(ab + bc + ca)
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: ab + bc + ca ≤ $\frac{3}{2}(a+b+c)^2$ =  $\frac{1}{3}$ 
Suy ra $\frac{9ab^2}{1+9b^2} + \frac{9bc^2}{1+9c^2} + \frac{9ca^2}{1+9a^2}$ ≤ $\frac{1}{2}$.
Từ đó S ≥  1 - $\frac{1}{2}$ ≥  $\frac{1}{2}$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = $\frac{1}{3}$. Bài toán được chứng minh.

Bài toán 4:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng:  $\frac{1}{a^2 +abc}$ + $\frac{1}{b^2 +abc}$ + $\frac{1}{c^2 +abc}$ ≥  $\frac{3}{2}$.

Bài toán 5:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. 
Tìm GTNN của biểu thức: S = $\frac{a^2}{a +b^2}$ + $\frac{b^2}{b +c^2}$ + $\frac{c^2}{c +a^2}$

Bài toán 6*:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2$ = 1. 
Chứng minh rằng:  $\frac{a}{1 +bc}$ + $\frac{b}{1 +ca}$ + $\frac{c}{c +ab}$ ≥ 1.

Những bài tập này có thể giải quyết bằng nhiều phương pháp khác nhau nhưng bạn hãy thử đặt bút và làm bằng kỹ thuật Cauchy ngược hướng. Sẽ rất thú vị và hiệu quả!  

 Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.834 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.835 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
5.686 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.409 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.106 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.213 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.186 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
11.956 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.018 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.070 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng  và ứng dụng
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.163 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.101 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.085 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.295 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.060 Lượt xem