Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thức cổ điển quan trọng bậc nhất, thông dụng nhất. Tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean).
Có nhiều cách để chứng minh nhưng cách chứng minh quy nạp của nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857) được đánh giá là hay, hiệu quả nên nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức nêu trên nhưng thực tế ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất đẹp của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên(theo wikipedia.org). Và cũng do cách chứng minh đặc sắc này mà chúng ta hay gọi là bất đẳng thức Cauchy.
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bất đẳng thức Cauchy(AM - GM)
Cho n(n ∈ N,n ≥ 2) số thực dương $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$ khi đó:
$\frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}$ ≥ $\sqrt[n]{x_{1}.x_{2}…x_{n}}$
Hoặc được viết dưới các dạng khác:
1. $x_{1}+x_{2}+…+x_{n}$ ≥ n$\sqrt[n]{x_{1}.x_{2}…x_{n}}$
2. $\left( \frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n} \right)^{n}$ ≥ $x_{1}.x_{2}…x_{n}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}=x_{2}=…=x_{n}$.
Lưu ý:
Đa số bài toán không xuất hiện ngay định dạng để áp dụng ngay mà phải thêm bớt, biến đổi. Kinh nghiệm để biến đổi là sử dụng và dự đoán điều kiện để dấu “=” xảy ra rồi nhân chia cộng trừ hoặc đổi biến cho thích hợp.
Trong các đề thi cũng chỉ 2, 3 số(hoặc 2, 3 bộ số) nên học sinh cần phải nhớ các trường hợp đơn giản này: với x, y ≥ 0 thì x + y ≥ 2√xy, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc với 3 số a, b, c ≥ 0 khi đó a + b + c ≥ 3∛abc, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Với các bài toán đặc biệt có mẫu số, nếu áp dụng ngay sẽ dẫn đến bất đẳng thức bị đổi chiều và khi đó ta không thể sử dụng tính chất bắc cầu, do vậy cần phải tinh tế trong biến đổi, cụ thể là cố gắng thêm bớt để tạo ra dấu “–” trước các phân số đó và người ta gọi đó là “kỹ thuật Cauchy ngược hướng”.
Chúng ta cùng xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn:
Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về
TẠI ĐÂY.
Bài toán 1: [Đề thi HSG lớp 9 huyện Gia Lâm – Hà Nội 2022 – 2023]
Cho a, b, c, d là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{a^2+b^2}$ + $\frac{b^3}{b^2+c^2}$ + $\frac{c^3}{c^2+d^2}$ + $\frac{d^3}{d^2+a^2}$ ≥ $\frac{a+b+c+d}{2}$
Lời giải:
Dự đoán rằng dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d và cũng là đủ để áp dụng BĐT AM – GM với các mẫu số. Tuy nhiên khi đó bất đẳng thức sẽ đổi chiều!
Vì vậy ta sẽ biến đổi như sau:
$\frac{a^3}{a^2+b^2} = \frac{a^3 +ab^2 -ab^2}{a^2+b^2} = a -\frac{ab^2}{a^2+b^2}$
Vì $a^2+ b^2 ≥ 2ab$ nên $\frac{ab^2}{a^2+b^2}$ ≤ $\frac{b}{2}$ suy ra $a -\frac{ab^2}{a^2+b^2}$ ≥ $a-\frac{b}{2}$.
Chứng minh tương tự ta cũng thu được:
$\frac{b^3}{b^2+c^2}$ ≥ $b-\frac{c}{2}$, $\frac{c^3}{c^2+d^2}$ ≥ $c-\frac{d}{2}$ và $\frac{d^3}{d^2+a^2}$ ≥ $d-\frac{a}{2}$.
Do đó: $\frac{a^3}{a^2+b^2} + \frac{b^3}{b^2+c^2}$ + $\frac{c^3}{c^2+d^2} + \frac{d^3}{d^2+a^2}$ ≥ $a-\frac{b}{2}$ + $b-\frac{c}{2}$ + $c-\frac{d}{2}$ + $d-\frac{a}{2}$ = $\frac{a+b+c+d}{2}$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d. Bài toán được chứng minh.
Bài toán 2:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ + $\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}$ + $\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$ ≥ $\frac{a+b+c}{3}$.
Lời giải:
Cách làm bài này cũng tương tự bài trên, hs tự giải hoặc tham khảo trong file đính kèm.
Bài toán 3:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{1+9b^2}$ + $\frac{b}{1+9c^2}$ + $\frac{c}{1+9a^2}$ ≥ $\frac{1}{2}$.
Lời giải:
Với đề bài như thế này chúng ta dễ dàng đoán được điều kiện dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3. Khi đó 1 = $9a^2$ = $9b^2$ = $9c^2$ và nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên do các biểu thức $1+9a^2$, $1+9b^2$, $1+9c^2$ nằm dưới mẫu nên nếu sử dụng ngay sẽ dẫn đến bất đẳng thức bị đảo chiều! Do đó cũng như các ví dụ trên, ta thêm bớt như sau:
Đặt S = $\frac{a}{1+9b^2}$ + $\frac{b}{1+9c^2}$ + $\frac{c}{1+9a^2}$ khi đó:
S = $\frac{a(1+9b^2)-9ab^2}{1+9b^2}$ + $\frac{a(1+9b^2)-9ab^2}{1+9b^2}$ + $\frac{a(1+9b^2)-9ab^2}{1+9b^2}$ = (a + b + c) - $\left( \frac{9ab^2}{1+9b^2} + \frac{9bc^2}{1+9c^2} + \frac{9ca^2}{1+9a^2} \right)$ = 1 - $\left( \frac{9ab^2}{1+9b^2} + \frac{9bc^2}{1+9c^2} + \frac{9ca^2}{1+9a^2} \right)$.
Đến đây sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
1 + $9b^2$ ≥ 6b, 1 + $9c^2$ ≥ 6c, 1 + $9a^2$ ≥ 6a, suy ra: $\frac{9ab^2}{1+9b^2} + \frac{9bc^2}{1+9c^2} + \frac{9ca^2}{1+9a^2}$ ≤ $\frac{3}{2}$(ab + bc + ca)
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: ab + bc + ca ≤ $\frac{3}{2}(a+b+c)^2$ = $\frac{1}{3}$
Suy ra $\frac{9ab^2}{1+9b^2} + \frac{9bc^2}{1+9c^2} + \frac{9ca^2}{1+9a^2}$ ≤ $\frac{1}{2}$.
Từ đó S ≥ 1 - $\frac{1}{2}$ ≥ $\frac{1}{2}$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = $\frac{1}{3}$. Bài toán được chứng minh.
Bài toán 4:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2 +abc}$ + $\frac{1}{b^2 +abc}$ + $\frac{1}{c^2 +abc}$ ≥ $\frac{3}{2}$.
Bài toán 5:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.
Tìm GTNN của biểu thức: S = $\frac{a^2}{a +b^2}$ + $\frac{b^2}{b +c^2}$ + $\frac{c^2}{c +a^2}$
Bài toán 6*:
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2$ = 1.
Chứng minh rằng: $\frac{a}{1 +bc}$ + $\frac{b}{1 +ca}$ + $\frac{c}{c +ab}$ ≥ 1.
Những bài tập này có thể giải quyết bằng nhiều phương pháp khác nhau nhưng bạn hãy thử đặt bút và làm bằng kỹ thuật Cauchy ngược hướng. Sẽ rất thú vị và hiệu quả!
Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về
TẠI ĐÂY.
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam