024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI » Hình học » 

Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  6081
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp giải. Nhiều bài toán phát biểu đơn giản nhưng để làm được thì cần trang bị những kiến thức riêng, đặc trưng của hình học tổ hợp. Tuy nhiên cũng có những bài đòi hỏi kiến thức chuyên sâu, và thậm chí có nhiều bài hình học tổ hợp tổng quát cho không gian đến nay vẫn chưa có lời giải.
Hình học tổ hợp được coi như nội dung dành cho học sinh khá, giỏi bậc Trung học cơ sở và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT chuyên...
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Nguyên tắc DIRICHLET:
Dạng đơn giản:
Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có ít nhất một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.
Dạng tổng quát:
Nếu nhốt n con thỏ vào m chuồng (m ≥ 2) thì tồn tại ít nhất một chuồng có ít nhất $\left[ \frac{n+m-1}{m} \right]$ con thỏ.
2. Nguyên lí cực hạn:
Nguyên lí 1: 
Trong một tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất.
Nguyên lí 2: 
Trong một tập hợp khác rỗng các số tự nhiên luôn luôn có thể chọn được số bé nhất.
(nguyên lý này đa số áp dụng trong các bài toán về tổ hợp hình học như đoạn thẳng, chu vi, diện tích... và thường được sử dụng kết hợp với các phương pháp khác, đặc biệt là phương pháp phản chứng)
Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt thỏ vào chuồng và thỏa mãn các điều kiện:
+ Số thỏ phải nhiều hơn số chuồng.
+ Thỏ phải được nhốt hết vào các chuồng nhưng không bắt buộc chuồng nào cũng phải có thỏ.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài toán 1. Bên trong một hình chữ nhật có diện tích bằng 1 lấy n điểm phân biệt. Chứng minh rằng có tồn tại một tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của hình chữ nhật hoặc n điểm đó sao cho diện tích S của nó thỏa mãn bất đẳng thức: S ≤ 1/(2( n+1)).
Hướng dẫn: 
Chúng ta sử dụng phương pháp phân chia hình chữ nhật đã cho thành các tam giác có diện tích không giao nhau như sau.
Kí hiệu các điểm đã cho là A1, A2,…,An, chọn điểm A1 chẳng hạn, khi đó hình chữ nhật sẽ được phân thành 4 tam giác như hình vẽ.
Xét  điểm A2, khi đó điểm này chỉ có thể nằm trong một tam giác bất kỳ hoặc nằm trên một cạnh nào đó cạnh A1A, A1B, A1C, A1D. Bằng cách nối như hình vẽ ta thấy trong mọi trường hợp thì số tam giác đều tăng lên 2. Thực hiện quá trình lặp tương tự với các điểm còn lại, cuối cùng ta thu được tổng số tam giác là: 4 + 2(n – 1) = 2(n + 1).
Ký hiệu diện tích các tam giác lần lượt là S1, S2,…,S2(n + 1) vì n là hữu hạn nên tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Đặt đó là S, để ý rằng diện tích hình chữ nhật ban đầu là 1nên ta được:
1 = S1 +  S2 + … + S2(n + 1) ≥ 2(n + 1).S ⇒ S ≤ 1/(2( n+1)).
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 2. [Đề kiểm tra kiến thức Toán lớp 9 – Đợt 1 – chuyên ĐHKHTN 2023]
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài các cạnh AB = DC = 4cm, AD = CB = 5cm. Cho 9 điểm phân biệt đôi một bên trong hình chữ nhật. Chứng minh rằng có tồn tại một tam giác có 3 đỉnh thuộc tập M gồm 4 đỉnh A, B, C, D và 9 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 1cm2.
Bài toán này cũng tương tự như bài trên, cũng bằng cách phân chia như vậy ta thu được tổng 4 + (9 – 1).2 = 20 tam giác. 
Ký hiệu diện tích các tam giác lần lượt là S1, S2, …, S20 vì số tam giác là hữu hạn nên tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Đặt đó là S, để ý rằng diện tích hình chữ nhật ban đầu là 20cm2 nên ta được:
20 = S1 +  S2 + … + S20  ≥ 20S ⇒ S ≤ 1. Bài toán được chứng minh.

Bài toán 3. Cho hình vuông ABCD có AB = 14cm. Trong hình vuông có đánh dấu 76 điểm phân biệt . Chứng minh có ít nhất 4 điểm cùng nằm trong 1 đường tròn có bán kính là 2 cm.
Hướng dẫn:
Chia hình vuông thành 25 hình vuông con. Mỗi hình vuông con có cạnh là: 14:5 = 2,8 cm
Độ dài đường chéo hình vuông là: 2.8√2 cm < 4 cm (*)
Mỗi hình vuông con nằm hoàn toàn trong các đường tròn bán kính 2 cm 
Vì cả 76 điểm đều nằm trong 25 hình vuông nhỏ nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại một hình vuông con chứa ít nhất [(76 + 25 - 1)/25] = 4 điểm trong 76 điểm đã cho, mà theo (*) mỗi hình vuông nhỏ lại nằm hoàn toàn trong đường tròn bán kính 2 cm nên sẽ tồn tại 1 đường tròn bán kính 2 cm chứa ít nhất 4 điểm nói trên. Bài toán được chứng minh.

Bài toán 4. Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính 1/91 nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho.
Hướng dẫn:
Chia hình vuông đã cho thành 452 hình vuông nhỏ bằng nhau, mỗi hình vuông có độ dài cạnh là 1/45. Vì 452 = 2025 > 2019 nên tồn tại ít nhất một hình vuông không chứa điểm nào trong số 2019 điểm đã cho.
Đường tròn (I) nội tiếp hình vuông này có bán kính 1/90 cũng sẽ không chứa bất kỳ điểm nào trong số 2019 điểm đã cho. Do 1/90 > 1/91 nên đường tròn đồng tậm với (I) bán kính 1/91 cũng sẽ không chứa bất kỳ điểm nào trong số 2019 điểm đã cho. Bài toán được chứng minh.

Bài toán 5. Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có 2 đường tròn bất kì nào trong chúng có điểm trong chung
Hướng dẫn:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD cạnh là a > 2 chứa 5 hình tròn bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn nào trong chúng có điểm trong chung. Suy ra tâm của các hình tròn này nằm trong hình vuông A’B’C’D’ tâm O cạnh là (a - 2).
hinh-hoc-to-hop-3.jpg
Các đường trung bình của hình vuông A’B’C’D’ chia hình vuông này thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau. Theo nguyên lí Dirichle tồn tại một hình vuông nhỏ chứa ít nhất 2 trong 5 tâm của các hình tròn nói trên, chẳng hạn đó là O’ và O’’. Do 5 hình tròn này không có hai hình tròn nào có điểm trong chung nên O’O’’ ≥ 2 (1)
Mặt khác O’O’’ cùng nằm trong một hình vuông nhỏ có cạnh là (a-2)/2 nên độ dài của nó không thể vượt quá độ dài đường chéo của hình vuông. Hay O’O’’ ≤ (a-2)/2 √2.
Kết hợp với (1) ta được (a-2)/2 √2 ≥ 2 ⇒ a ≥ 2 + 2√2
Bây giờ xét hình vuông ABCD có cạnh 2 + 2√2, khi đó các hình vuông bán kính 1 và tâm lại A’, B’, C’, D’, O thỏa mãn tất cả các điều kiện bài ra.
Vậy hình vuông kích thước nhỏ nhất có cạnh 2 + 2√2 thỏa mãn yêu cầu bài ra.

Bài toán 6. Người ta làm một cái hộp hình vuông để đựng được 5 cái bánh hình tròn có đường kính 6cm sao cho không có bất kì hai cái bánh nào được chồng lên nhau. 
Hãy tính cạnh nhỏ nhất của cái hộp.
Hướng dẫn: Tương tự bài toán 4.

Bài toán 7. Cho n điểm trong mặt phẳng sao cho ko có 3 điểm nào thẳng hàng và 3 điểm bất kỳ tạo thành 1 tam giác có diện tích ≤ 1. CMR n điểm đã cho thuộc 1 tam giác có diện tích không vượt quá 4.
Hướng dẫn: 
Vì n cố định nên tồn tại một số hữu hạn các tam giác có 3 đỉnh được lấy từ n điểm đã cho. Theo nguyên lý cực hạn thì trong số các tam giác đó luôn tồn tại một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giả sử đó là tam giác ABC với diện tích là S. Khi đó S ≤ 1.
Từ các đỉnh A, B, C ta vẽ các đường thẳng song song BC, CA, AB. Các đường thẳng này cắt nhau tạo thành tam giác DEF.
 
Dễ thấy A, B, C lần lượt là trung điểm của EF, FD và DE. Do đó S(DEF) = 4S(ABC) = 4. Với mỗi điểm G còn lại trong số n – 3 điểm đã cho thì nó không thể nằm ngoài tam giác DEF vì nếu như vậy thì như hình vẽ trên ta thấy S(GBC) > S(ABC) hoặc S(G’BC > S(ABC)(mâu thuẫn với diện tích tam giác ABC lớn nhất). Nói tóm lại n điểm đã cho thuộc 1 tam giác có diện tích không vượt quá 4.
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 8. Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho trong 3 điểm bất kì nào cũng tồn tại 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. CMR tồn tại một hình tròn có bán kính 1 chứa ít nhất 1005 điểm trong 2009 điểm đã cho.
Hướng dẫn: 
Ta xét một điểm A bất kì trong số 2009 điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 1 đơn vị. Nếu 2008 điểm còn lại nằm bên trong (A; 1) thì bài toán được chứng minh.
Nếu không như vậy, sẽ tồn tại chẳng hạn điểm B nằm ngoài (A; 1), khi đó AB > 1.
Ta vẽ đường tròn tâm B, bán kính 1 đơn vị. Xét điểm C bất kì trong số 2007 điểm còn lại, rõ ràng C phải nằm trong 1 trong 2 đường tròn vừa vẽ vì nếu không thì với 3 điểm A, B, C ta có AB > 1, BC > 1 và CA > 1(mâu thuẫn)
hinh-hoc-to-hop-4.jpg
Như thế 2009 điểm đã cho sẽ được phân bố bên trong 2 đường tròn (A; 1) và (B; 1). Theo nguyên tắc Dirichlet, phải tồn tại một đường tròn chứa ít nhất [(2009 + 2 - 1)/2] = 1005 điểm. Bài toán được chứng minh!

Bài toán 9. Trên cùng 1 mặt phẳng cho 4037 điểm. Biết rằng 3 điểm bất kì trong 4037 điểm trên luôn chọn được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. CMR trong các điểm nói trên có ít nhất 2019 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1.
Tổng quát bài toán: Trên cùng 1 mặt phẳng cho 2n + 1 điểm. Biết rằng 3 điểm bất kì trong 2n + 1  điểm trên luôn chọn được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. CMR trong các điểm nói trên có ít nhất n + 1 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1.

Bài toán 10. Trên một đường tròn bán kính 5cm lấy 10 điểm bất kì. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai trong 10 điểm đó cách nhau một khoảng nhỏ hơn 3,5 cm.
Hướng dẫn: 
Ta xét (O; 5cm), trên đó lấy 10 điểm A1, A2,…, A10 như hình vẽ.
hinh-hoc-to-hop-6.jpg
Đặt chu vi hình tròn là C, khi đó C = 2π.R = 10 π.
Giả sử tất cả các điểm đã cho đều có khoảng cách > 3.5cm, khi đó chu vi đa giác A1A2…A10 = A1A2 + A2A3 +… + A9A10 + A10A1 > 10.3.5 = 35cm.
Nhưng A1A2 + A2A3 +… + A9A10 + A10A1 < C hay 35 < 10π. Mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử phản chứng là sai. Bài toán được chứng minh.

Bài toán 11. Cho một hình vuông và 9 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2/3. Chứng minh rằng trong 9 đường thẳng đó, có ít nhất ba đường thẳng cùng đi qua một điểm.
Hướng dẫn: 
Ta xét một hình vuông ABCD cạnh a như hình vẽ, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. E, F, G, H là các điểm nằm trên MP và QN sao cho QE = NG = 2/5QN, MF = PH = 2/5 MP.
Giả sử d là 1 đường thẳng bất kỳ chia cắt hình vuông ABCD thành 2 hình có diện tích tỉ lệ 2/3 chẳng hạn S(ASDT)/ S(SBCT) = 2/3. 
hinh-hoc-to-hop-5.jpg
Đặt E’ là giao điểm của ST và QN. Khi đó S(ASDT) = QE’.a, S(SBCT) = NE’.a
⇒ QE’/NE’ = 2/3 ⇒ QE’/(QE’ + NE’) = 2/5 hay QE’ = 2/5QN ⇒ E≡ E’ nghĩa là d đi qua E.
Nói tóm lại, 9 đường thẳng đã cho chỉ có thể đi qua 4 điểm E, F, G, H. Theo nguyên tắc Dirichlet thì phải có [(9 + 4 - 1)/4] = 3 điểm cùng đi qua một điểm.
Bài toán được chứng minh.
Lưu ý: Bài toán cũng đúng với hình chữ nhật.

Bài toán 12. Mỗi điểm trên mặt phẳng đều được tô bởi một trong ba màu : xanh , đỏ , vàng Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng một độ dài cho trước tùy ý.
Hướng dẫn: 
Gọi độ dài cho trước là a.
Giả sử không thể có 2 điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng a. (*)
Xét một điểm A bất kì có màu đỏ. Dựng tam giác ABC đều có cạnh là a. Khi đó B, C không thể màu đỏ. Không mất tính tổng quát ta giả sử tô B màu xanh, tô C màu vàng.
hinh-hoc-to-hop-7.jpg
Lấy D đối xứng với A qua BC. Tam giác BCD đều có cạnh là x. Theo (*) thì D sẽ tô màu đỏ.
Vẽ đường tròn (A; a√3), dễ thấy mọi điểm trên đường tròn này đều được tô màu đỏ, có nghĩa là không khó để tìm ra 2 điểm E, F mà EF = a. Mâu thuẫn.
Vậy điều giả sử phản chứng là sai. Bài toán được chứng minh.

Bài toán 13. Cho 37 điểm, trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng nằm ở bên trong một hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm đc 5 điểm trong 37 điểm đã thỏa mãn : các tam giác tạo bởi 3 điểm bất kỳ trong 5 điểm đó có diện tích không quá 1/18.
Hướng dẫn: 
Bổ đề: Diện tích tam giác nằm bên trong trong hình bình hành (tam giác có 3 đỉnh nằm bên trong hoặc trên các cạnh của hình bình hành) không lớn hơn nửa diện tích của hình bình đó.
 hinh-hoc-to-hop-8.jpg
Chứng minh:
Với tam giác MNP nằm bên trong trong hình bình hành ABCD ta đều có thể vẽ được bao ngoài bởi tam giác RST như hình vẽ trên. Trong đó R, S, T là các đỉnh nằm trên cạnh của hình bình hành ABCD.
Kẻ SE //AD cắt TR tại F(như hình vẽ). Khi đó S(TSF) ≤ S(TSE) ≤ 1/2 S(ADSE), S(RSF) ≤ S(RSE) ≤ 1/2 S(CSEB)
Suy ra S(MNP) ≤ S(RST) = S(TSF) + S(RSF) ≤ 1/2 S(ADSE) + 1/2 S(CSEB) = 1/2 S(ABCD).
Bổ đề được chứng minh!
Trở lại bài toán, chia hình vuông đã cho thành 9 hình vuông nhỏ cạnh 1/3. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại [(37 + 9 - 1)/9] = 5  điểm cùng thuộc 1 hình vuông nhỏ. Chẳng hạn hình vuông MNPQ. Gọi A, B, C là 3 điểm bất kỳ trong 5 điểm này. 
Dễ thấy S(ABC) ≤ 1/2 S(MNPQ) = 1/2.1/3 .  1/3 = 1/18. Bài toán được chứng minh.

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.955 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.967 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
6.081 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.498 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.202 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.324 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.321 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
12.051 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.104 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.181 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng  và ứng dụng
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.274 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.251 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.191 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.424 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.151 Lượt xem