024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI » Đại số » 

Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12181
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải. Mấu chốt vẫn là đánh giá, sử dụng thành thạo các bất đẳng thức thông qua biến đổi cơ bản về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm(bình phương, trị tuyệt đối…) hoặc thông qua các bất đẳng thức cổ điển quen thuộc như Cauchy, Bunhiacopxi, Svác–xơ…
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x,y,z,…) chúng ta phải tuân thủ và thực hiện đầy đủ 3 bước:
Bước 1: Tìm cận trên A mà f(x, y, z…) ≤ A với mọi x, y, z…
Bước 2: Chỉ ra 1 bộ $(x_{0}, y_{0}, z_{0},...)$ mà $f(x_{0}, y_{0}, z_{0},…)$ = A
Bước 3: Kết luận GTLN của biểu thức là A.

2. Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y,z…) cũng làm như vậy:
Bước 1: Tìm cận dưới B mà f(x, y, z…) ≥ B với mọi x, y, z…
Bước 2: Chỉ ra 1 bộ $(x_{0}, y_{0}, z_{0},...)$ mà $f(x_{0}, y_{0}, z_{0},…)$ = B
Bước 3: Kết luận GTNN của biểu thức là B.

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
Dạng toán này rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... những năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất…có điều kiện. Để làm được đòi hỏi học sinh phải có kinh nghiệm, tư duy nhậy bén, tinh tế và sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức cơ bản, các biến đổi cơ bản. 
Đặc biệt lưu ý: đây là dạng bài khó và nếu biến đổi quá đà rất dễ dẫn đến mất phương hướng trong việc đi tìm lời giải.
1. $a^2$ ≥ 0 với mọi a ∈ R.
2. Nếu a ∈ [0; 1] thì:  $a^m$ ≤ $a^n$ với mọi m, n ∈ N và m ≥ n.
3. Nếu a ∈ [–1; 1] thì: $a^2$ ≤ |a|
4. |a + b| ≤ |a| + |b| với mọi a, b ∈ R.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0.
5. $\sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a+b}$ với mọi a, b ∈ R+.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b = 0.
6. Bất đẳng thức tam giác: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, khi đó |b – c| < a < b + c
7. Nếu a ≤ x ≤ b thì (x – a)(x – b) ≤ 0. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = a hoặc x = b.

Lưu ý:
Nếu thiếu một trong các bước trên thì lời giải không đầy đủ, thậm chí cho kết quả sai! Đã có rất nhiều học sinh phân tích $x^{4} + x^{2} + 1 = \left(x^{2}+\frac{1}{2}  \right)^{2} + \frac{3}{4}$ từ đó kết luận GTNN  của biểu thức $x^{4} + x^{2} + 1$ là $\frac{3}{4}$!

Ngoài các các biến đổi cơ bản thì phương pháp đổi biến cũng hay được sử dụng để đưa về những bài toán quen thuộc với điều kiện dễ chịu hơn. Cụ thể như sau:
* Nếu bài toán cho a ∈ [0; 2] thì nên đặt x = a – 1 hoặc a ∈ [3; 5] thì đặt x = a – 4. Mục đích để quy về x ∈ [–1; 1] khi đó $x^2$ ≤ |x|. 
* Nếu điều kiện cho a ≥ 2; b ≥ 3… thì đặt a = x + 2; b = y + 3. Mục đích để quy về chung khoảng x, y ≥ 0 khi đó việc sử dụng điều kiện sẽ thống nhất và dễ giải hơn!
* Nếu điều kiện và dạng bất đẳng thức đối xứng(vai trò các biến như nhau) thì ta có thể giả sử a ≤ b ≤ c … hoặc x ≤ y ≤ z … mà không làm giảm tính tổng quát của bài toán hoặc chuẩn hóa về điều kiện a + b + c = 1,  x + y + z = 1 nếu cần.

Trong bài giảng này, chúng ta hãy thử làm một số ví dụ mà lời giải dựa vào các BĐT cơ bản 2 và 3 ở trên:
Bài toán 1:
Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, tìm GTLN của biểu thức S = $x^2 + y^8 + z^{2023} – xy – xz – yz$.
Lời giải:
Thực chất bài toán này chủ yếu HS cần nhanh nhậy, đánh giá dựa vào điều kiện chứ không thể biến đổi thêm được gì từ S.
Cụ thể từ giả thiết x, y, z ≥ 0 và $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ ⇒ 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên sử dụng nhận xét trên ta có:
$y^8 ≤ y^2, z^{2023} ≤ z^2$ và xy + yz + zx  ≥ 0
⇒ S = $x^2 + y^8 + z^{2023} – xy – xz – yz$ ≤ $x^2 + y^2 + z^2$ = 1
Mặt khác với chẳng hạn  x = 1; y = z = 0 thì S = 1. 
Vậy giá trị lớn nhất của S là 1.

Bài toán 2:
Cho các số thực dương x, y, z và thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 100$. 
Tìm GTLN của biểu thức S =  $x^3 + y^3 + z^3 $.
Lời giải:
Đặt x = 10a, y = 10b, z = 10c khi đó ta có a, b, c > 0 và  $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ ⇒ 0 < a, b, c ≤ 1
Nên $a^3 ≤ a^2, b^3 ≤ b^2, c^3 ≤ c^2$ ⇒ S =  $x^3 + y^3 + z^3 $ =  $1000(a^3 + b^3 + c^3) $ ≤  $1000(a^2 + b^2 + c^2) $ = 1000.
Mặt khác với chẳng hạn  x = 10; y = z = 0 thì S = 1000. 
Vậy giá trị lớn nhất của S là 1000.

Bài toán 3:
Cho các số thực 0  ≤ x, y, z ≤ 2 và thỏa mãn x + y + z = 3. 
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức S =  $x^{2} + y^{2} + z^{2}$.
Lời giải:
Để tìm GTLN chúng ta sử dụng cách đặt ẩn phụ và quy về BĐT cơ bản như sau:
Đặt a = x – 1; b = y – 1; c = z  – 1. Khi đó –1 ≤ a, b, c ≤ 1 và a + b + c = 0.
Khi đó S = $x^2 + y^2 + z^2$  = $(a+1)^2 + (b+1)^2 + (c+1)^2$  = $a^2 + b^2 + c^2 + 2(a + b + c) + 3$ = $a^2 + b^2 + c^2 + 3$
Vì a, b, c ∈ [–1; 1] ⇒ $a^2 + b^2 + c^2$  ≤ |a| + |b| + |c|.
Theo nguyên tắc DIRICLET thì trong 3 số a, b, c phải có ít nhất 2 số cùng dấu(quy ước số 0 cùng dấu với mọi số thực). Không làm giảm tính tổng quát có thể coi đó là b và c. Khi đó |a| + |b| + |c| = |a| + |b + c| = |a| + |–a| = 2|a| ≤ 2.
Do vậy S ≤ 3+ 2 = 5. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (a, b, c) là các hoán vị của (1; –1; 0) hay (x, y, z) là các hoán vị của (0; 1; 2). Vậy giá trịn lớn nhất của S là 5;
Đối với GTNN thật đơn giản, từ S = $a^2 + b^2 + c^2$ + 3 ⇒ S ≥ 3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0 hay x = y = z = 1. Vậy kết luận giá trị lớn nhất của S là 3.

Bài toán 4: [Đề thi Olympic lớp 8 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2020 – 2021]
Cho các số thực 0 ≤ x, y, z  ≤ 1 thỏa mãn x + y + z = $\frac{3}{2}$. 
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức S =  $x^{2} + y^{2} + z^{2}$.
Lời giải:
Ta đổi  biến như sau: đặt a = 2x – 1; b = 2y – 1 và c = 2z – 1, khi đó –1 ≤ a, b, c ≤ 1 và a + b + c = 2(x + y + z) – 3 = 0.
Đến đây ta quay lại như cách giải bài toán 3 ở trên.

Bài toán 5:   
Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn a + b + c = 100.  Tìm GTLN của biểu thức A = abc.
Lời giải:
Cách 1:
Chúng ta dựa vào nhận xét: Nếu các số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi các số đó bằng nhau hoặc gần bằng nhau.
Không giảm tính tổng quát, có thể giả sử a ≤ b ≤ c. Khi đó 100 = a + b + c ≤ 3c ⇒ c ≥ 100/3. Vì a nguyên ⇒ c ≥ 34.
Từ đó 34.34.33S = 34a.34b.33c ≤ $\left( \frac{34a + 34b + 33c}{3} \right)^{3}$ = $\left( \frac{3400 - c}{3} \right)^{3}$ ≤ $\left( \frac{3400 - 34}{3} \right)^{3}$.
Suy ra S ≤ 37026.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 33; b = 33; c = 34 và các hoán vị.
Vậy GTLN của A là 37026.

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.955 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.967 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
6.080 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.498 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.202 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.324 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.321 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
12.051 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.104 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.181 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng  và ứng dụng
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.274 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.251 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.191 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.424 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.151 Lượt xem