Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải. Mấu chốt vẫn là đánh giá, sử dụng thành thạo các bất đẳng thức thông qua biến đổi cơ bản về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm(bình phương, trị tuyệt đối…) hoặc thông qua các bất đẳng thức cổ điển quen thuộc như Cauchy, Bunhiacopxi, Svác–xơ…
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x,y,z,…) chúng ta phải tuân thủ và thực hiện đầy đủ 3 bước:
Bước 1: Tìm cận trên A mà f(x, y, z…) ≤ A với mọi x, y, z…
Bước 2: Chỉ ra 1 bộ $(x_{0}, y_{0}, z_{0},...)$ mà $f(x_{0}, y_{0}, z_{0},…)$ = A
Bước 3: Kết luận GTLN của biểu thức là A.
2. Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y,z…) cũng làm như vậy:
Bước 1: Tìm cận dưới B mà f(x, y, z…) ≥ B với mọi x, y, z…
Bước 2: Chỉ ra 1 bộ $(x_{0}, y_{0}, z_{0},...)$ mà $f(x_{0}, y_{0}, z_{0},…)$ = B
Bước 3: Kết luận GTNN của biểu thức là B.
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
Dạng toán này rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... những năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất…có điều kiện. Để làm được đòi hỏi học sinh phải có kinh nghiệm, tư duy nhậy bén, tinh tế và sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức cơ bản, các biến đổi cơ bản.
Đặc biệt lưu ý: đây là dạng bài khó và nếu biến đổi quá đà rất dễ dẫn đến mất phương hướng trong việc đi tìm lời giải.
1. $a^2$ ≥ 0 với mọi a ∈ R.
2. Nếu a ∈ [0; 1] thì: $a^m$ ≤ $a^n$ với mọi m, n ∈ N và m ≥ n.
3. Nếu a ∈ [–1; 1] thì: $a^2$ ≤ |a|
4. |a + b| ≤ |a| + |b| với mọi a, b ∈ R.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0.
5. $\sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a+b}$ với mọi a, b ∈ R+.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b = 0.
6. Bất đẳng thức tam giác: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, khi đó |b – c| < a < b + c
7. Nếu a ≤ x ≤ b thì (x – a)(x – b) ≤ 0. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = a hoặc x = b.
Lưu ý:
Nếu thiếu một trong các bước trên thì lời giải không đầy đủ, thậm chí cho kết quả sai! Đã có rất nhiều học sinh phân tích $x^{4} + x^{2} + 1 = \left(x^{2}+\frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}$ từ đó kết luận GTNN của biểu thức $x^{4} + x^{2} + 1$ là $\frac{3}{4}$!
Ngoài các các biến đổi cơ bản thì phương pháp đổi biến cũng hay được sử dụng để đưa về những bài toán quen thuộc với điều kiện dễ chịu hơn. Cụ thể như sau:
* Nếu bài toán cho a ∈ [0; 2] thì nên đặt x = a – 1 hoặc a ∈ [3; 5] thì đặt x = a – 4. Mục đích để quy về x ∈ [–1; 1] khi đó $x^2$ ≤ |x|.
* Nếu điều kiện cho a ≥ 2; b ≥ 3… thì đặt a = x + 2; b = y + 3. Mục đích để quy về chung khoảng x, y ≥ 0 khi đó việc sử dụng điều kiện sẽ thống nhất và dễ giải hơn!
* Nếu điều kiện và dạng bất đẳng thức đối xứng(vai trò các biến như nhau) thì ta có thể giả sử a ≤ b ≤ c … hoặc x ≤ y ≤ z … mà không làm giảm tính tổng quát của bài toán hoặc chuẩn hóa về điều kiện a + b + c = 1, x + y + z = 1 nếu cần.
Trong bài giảng này, chúng ta hãy thử làm một số ví dụ mà lời giải dựa vào các BĐT cơ bản 2 và 3 ở trên:
Bài toán 1:
Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, tìm GTLN của biểu thức S = $x^2 + y^8 + z^{2023} – xy – xz – yz$.
Lời giải:
Thực chất bài toán này chủ yếu HS cần nhanh nhậy, đánh giá dựa vào điều kiện chứ không thể biến đổi thêm được gì từ S.
Cụ thể từ giả thiết x, y, z ≥ 0 và $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ ⇒ 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên sử dụng nhận xét trên ta có:
$y^8 ≤ y^2, z^{2023} ≤ z^2$ và xy + yz + zx ≥ 0
⇒ S = $x^2 + y^8 + z^{2023} – xy – xz – yz$ ≤ $x^2 + y^2 + z^2$ = 1
Mặt khác với chẳng hạn x = 1; y = z = 0 thì S = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của S là 1.
Bài toán 2:
Cho các số thực dương x, y, z và thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 100$.
Tìm GTLN của biểu thức S = $x^3 + y^3 + z^3 $.
Lời giải:
Đặt x = 10a, y = 10b, z = 10c khi đó ta có a, b, c > 0 và $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ ⇒ 0 < a, b, c ≤ 1
Nên $a^3 ≤ a^2, b^3 ≤ b^2, c^3 ≤ c^2$ ⇒ S = $x^3 + y^3 + z^3 $ = $1000(a^3 + b^3 + c^3) $ ≤ $1000(a^2 + b^2 + c^2) $ = 1000.
Mặt khác với chẳng hạn x = 10; y = z = 0 thì S = 1000.
Vậy giá trị lớn nhất của S là 1000.
Bài toán 3:
Cho các số thực 0 ≤ x, y, z ≤ 2 và thỏa mãn x + y + z = 3.
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức S = $x^{2} + y^{2} + z^{2}$.
Lời giải:
Để tìm GTLN chúng ta sử dụng cách đặt ẩn phụ và quy về BĐT cơ bản như sau:
Đặt a = x – 1; b = y – 1; c = z – 1. Khi đó –1 ≤ a, b, c ≤ 1 và a + b + c = 0.
Khi đó S = $x^2 + y^2 + z^2$ = $(a+1)^2 + (b+1)^2 + (c+1)^2$ = $a^2 + b^2 + c^2 + 2(a + b + c) + 3$ = $a^2 + b^2 + c^2 + 3$
Vì a, b, c ∈ [–1; 1] ⇒ $a^2 + b^2 + c^2$ ≤ |a| + |b| + |c|.
Theo nguyên tắc DIRICLET thì trong 3 số a, b, c phải có ít nhất 2 số cùng dấu(quy ước số 0 cùng dấu với mọi số thực). Không làm giảm tính tổng quát có thể coi đó là b và c. Khi đó |a| + |b| + |c| = |a| + |b + c| = |a| + |–a| = 2|a| ≤ 2.
Do vậy S ≤ 3+ 2 = 5. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (a, b, c) là các hoán vị của (1; –1; 0) hay (x, y, z) là các hoán vị của (0; 1; 2). Vậy giá trịn lớn nhất của S là 5;
Đối với GTNN thật đơn giản, từ S = $a^2 + b^2 + c^2$ + 3 ⇒ S ≥ 3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0 hay x = y = z = 1. Vậy kết luận giá trị lớn nhất của S là 3.
Bài toán 4: [Đề thi Olympic lớp 8 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2020 – 2021]
Cho các số thực 0 ≤ x, y, z ≤ 1 thỏa mãn x + y + z = $\frac{3}{2}$.
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức S = $x^{2} + y^{2} + z^{2}$.
Lời giải:
Ta đổi biến như sau: đặt a = 2x – 1; b = 2y – 1 và c = 2z – 1, khi đó –1 ≤ a, b, c ≤ 1 và a + b + c = 2(x + y + z) – 3 = 0.
Đến đây ta quay lại như cách giải bài toán 3 ở trên.
Bài toán 5:
Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn a + b + c = 100. Tìm GTLN của biểu thức A = abc.
Lời giải:
Cách 1:
Chúng ta dựa vào nhận xét: Nếu các số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi các số đó bằng nhau hoặc gần bằng nhau.
Không giảm tính tổng quát, có thể giả sử a ≤ b ≤ c. Khi đó 100 = a + b + c ≤ 3c ⇒ c ≥ 100/3. Vì a nguyên ⇒ c ≥ 34.
Từ đó 34.34.33S = 34a.34b.33c ≤ $\left( \frac{34a + 34b + 33c}{3} \right)^{3}$ = $\left( \frac{3400 - c}{3} \right)^{3}$ ≤ $\left( \frac{3400 - 34}{3} \right)^{3}$.
Suy ra S ≤ 37026.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 33; b = 33; c = 34 và các hoán vị.
Vậy GTLN của A là 37026.
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam