024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI » Toán rời rạc » 

Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12106
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu chuẩn bị kỹ càng từ kiến thức đến lộ trình ôn thi bài bản thì các em có thể vượt qua kì thi một cách dễ dàng hơn.
Câu IV(toán điều kiện): 
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài các cạnh $AB = DC = 4cm, AD = CB = 5cm$. Cho 9 điểm phân biệt đôi một bên trong hình chữ nhật. Chứng minh rằng có tồn tại một tam giác có 3 đỉnh thuộc tập M gồm 4 đỉnh A, B, C, D và 9 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng $1 cm^{2}$.
Lời giải:
Chúng ta sử dụng phương pháp phân chia hình vuông đã cho thành các tam giác có diện tích không giao nhau như sau.
Kí hiệu các điểm đã cho là $A_1, A_2,…,A_{20}$, chọn điểm $A_1$ chẳng hạn, khi đó hình vuông sẽ được phân thành 4 tam giác như hình vẽ.
de-thi-thu-khtn-dot-1-2023.png
Xét  điểm $A_2$, khi đó điểm này chỉ có thể nằm trong một tam giác bất kỳ hoặc nằm trên một cạnh nào đó cạnh $A_1A, A_1B, A_1C, A_1D$. Bằng cách nối như hình vẽ ta thấy trong mọi trường hợp thì số tam giác đều tăng lên 2. Thực hiện quá trình lặp tương tự với các điểm còn lại, cuối cùng ta thu được tổng số tam giác là: $4 + 2(9 – 1) = 20$.
Ký hiệu diện tích các tam giác lần lượt là $S_1, S_2,…,S_{20}$ và luôn tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Đặt đó là S, để ý rằng diện tích hình vuông ban đầu là 20 nên ta được:
$20 = S_1 +  S_2 + … + S_{20}$ $\ge 20 S \Rightarrow S \le 1$
Bài toán được chứng minh.

Câu IV(toán chuyên): 
Xét 20 số $1 \le a_{1} < a_{2} < … < a_{20} \le 70$ nguyên dương. Chứng minh rằng trong các hiệu $a_{k} – a_{j} (1 \le j < k \le 20)$ có ít nhất 4 số bằng nhau.
Lời giải:
Ta xét 19 số nguyên dương $a_{20} – a_{19}, a_{19} – a_{18}, a_{18} – a_{17},…, a_2 – a_1$ và giả sử phản chứng rằng không có 4 số nào bằng nhau. 
Ký hiệu và sắp xếp lại các số đó dưới dạng: $b_1 \le b_2 \le b_3 \le \ldots \le b_{19}$.
Suy ra $1 \le b_1 \le b_2 \le b_3$ $\Rightarrow$ $2 \le b_4 \le b_5 \le b_6$ (vì ví dụ $b_4 = 1$ thì $b_1 = b_2 = b_3 = b_4 = 1$), tương tự $\Rightarrow 3 \le b_7 \le b_8 \le b_9$ $\Rightarrow$ $4 \le b_{10}\le b_{11} \le b_{12}$ $\Rightarrow$ $5 \le b_{13} \le b_{14} \le b_{15}$ $\Rightarrow$ $6 \le b_{16} \le b_{17} \le b_{18}$ $\Rightarrow$ $7 \le b_{19}$.
Khi đó $b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{19}$ = $(b_1 + b_2 + b_3)$ + $(b_4 + b_5 + b_6)$ +$\ldots$ + $(b_{16} + b_{17} + b_{18})$ + $b_{19}$ $\ge$ $3(1 + 2 + \ldots + 6)$ + $7 = 70$. 
Trong khi đó $b_1 + b_2 + b_3 + …+ b_{19}$ = $ a_{20} – a_1 \le 70 – 1 = 69$: Mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử là sai, đồng nghĩa với bài toán được chứng minh.

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Hà Nội

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.834 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.835 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
5.686 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.409 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.106 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.213 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.186 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
11.955 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.017 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.070 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng  và ứng dụng
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.162 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.101 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.085 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.295 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.060 Lượt xem