Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu chuẩn bị kỹ càng từ kiến thức đến lộ trình ôn thi bài bản thì các em có thể vượt qua kì thi một cách dễ dàng hơn.
Câu IV(toán điều kiện):
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài các cạnh $AB = DC = 4cm, AD = CB = 5cm$. Cho 9 điểm phân biệt đôi một bên trong hình chữ nhật. Chứng minh rằng có tồn tại một tam giác có 3 đỉnh thuộc tập M gồm 4 đỉnh A, B, C, D và 9 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng $1 cm^{2}$.
Lời giải:
Chúng ta sử dụng phương pháp phân chia hình vuông đã cho thành các tam giác có diện tích không giao nhau như sau.
Kí hiệu các điểm đã cho là $A_1, A_2,…,A_{20}$, chọn điểm $A_1$ chẳng hạn, khi đó hình vuông sẽ được phân thành 4 tam giác như hình vẽ.
Xét điểm $A_2$, khi đó điểm này chỉ có thể nằm trong một tam giác bất kỳ hoặc nằm trên một cạnh nào đó cạnh $A_1A, A_1B, A_1C, A_1D$. Bằng cách nối như hình vẽ ta thấy trong mọi trường hợp thì số tam giác đều tăng lên 2. Thực hiện quá trình lặp tương tự với các điểm còn lại, cuối cùng ta thu được tổng số tam giác là: $4 + 2(9 – 1) = 20$.
Ký hiệu diện tích các tam giác lần lượt là $S_1, S_2,…,S_{20}$ và luôn tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Đặt đó là S, để ý rằng diện tích hình vuông ban đầu là 20 nên ta được:
$20 = S_1 + S_2 + … + S_{20}$ $\ge 20 S \Rightarrow S \le 1$
Bài toán được chứng minh.
Câu IV(toán chuyên):
Xét 20 số $1 \le a_{1} < a_{2} < … < a_{20} \le 70$ nguyên dương. Chứng minh rằng trong các hiệu $a_{k} – a_{j} (1 \le j < k \le 20)$ có ít nhất 4 số bằng nhau.
Lời giải:
Ta xét 19 số nguyên dương $a_{20} – a_{19}, a_{19} – a_{18}, a_{18} – a_{17},…, a_2 – a_1$ và giả sử phản chứng rằng không có 4 số nào bằng nhau.
Ký hiệu và sắp xếp lại các số đó dưới dạng: $b_1 \le b_2 \le b_3 \le \ldots \le b_{19}$.
Suy ra $1 \le b_1 \le b_2 \le b_3$ $\Rightarrow$ $2 \le b_4 \le b_5 \le b_6$ (vì ví dụ $b_4 = 1$ thì $b_1 = b_2 = b_3 = b_4 = 1$), tương tự $\Rightarrow 3 \le b_7 \le b_8 \le b_9$ $\Rightarrow$ $4 \le b_{10}\le b_{11} \le b_{12}$ $\Rightarrow$ $5 \le b_{13} \le b_{14} \le b_{15}$ $\Rightarrow$ $6 \le b_{16} \le b_{17} \le b_{18}$ $\Rightarrow$ $7 \le b_{19}$.
Khi đó $b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{19}$ = $(b_1 + b_2 + b_3)$ + $(b_4 + b_5 + b_6)$ +$\ldots$ + $(b_{16} + b_{17} + b_{18})$ + $b_{19}$ $\ge$ $3(1 + 2 + \ldots + 6)$ + $7 = 70$.
Trong khi đó $b_1 + b_2 + b_3 + …+ b_{19}$ = $ a_{20} – a_1 \le 70 – 1 = 69$: Mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử là sai, đồng nghĩa với bài toán được chứng minh.
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Hà Nội