Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức

Đánh giá bài giảng
Số lần xem 12736

Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội toán học Hà Nội 09/03/2023

Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

Bài toán 1 (GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu):

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^{2} + 2y^{2} + 5z^{2} = 1.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = xy + yz + zx.

Đây là bài toán khá khó với các bạn học sinh(kể cả với các bạn sinh viên khi dùng phương pháp nhân tử Lagrange - giải một hệ phương trình phức tạp để tìm các điểm dừng thì việc khôi phục bài toán ban đầu khi biết điều kiện đó cũng không dễ chút nào). Thầy đã đưa ra lời giải tuyệt vời bằng cách cho z = 0 để có được định hướng: chỉ xét S ≥ 1/2$\sqrt{2}$ và từ đó sử điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc 2 tìm ra giá trị lớn nhất của S.

Vậy ngoài các cách đó ra liệu còn phương pháp nào khác nữa?

Nếu suy nghĩ và đứng ở vai trò người ra đề có thể nhận thấy: bằng phương pháp HỆ SỐ BẤT ĐỊNH chúng ta cũng sẽ có lời giải đơn giản, có thể áp dụng được cho học sinh lớp 7 - 8(phương pháp này cũng không phải là mới mẻ và đã có rất nhiều tác giả đã viết).

Ta hãy bắt đầu đơn giản thông qua việc theo dõi một cách chứng minh khác cho bất đẳng thức(BĐT) Nesbitt (một trường hợp đặc biệt của BĐT Shapiro – đưa ra năm 1954):

Bài toán 2 (BĐT Nesbitt):

Cho a, b, c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng P = $\frac{a}{b + c}$ + $\frac{b}{c + a}$ + $\frac{c}{a + b}$ ≥ 3/2.

Đây là BĐT quen thuộc, có rất nhiều cách chứng minh như dùng Cauchy, Bunhiacopxki, Cauchy–Schwarz dạng Engel, Chebyshev, Jensen(cho hàm lõm)… hoặc đơn giản hơn như đổi biến, biến đổi tương đương. Nhưng ở bài viết này chúng ta sẽ làm khác đi một chút.

Bài toán 3 (USAMO 2003):

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{(b + c + 2a)^{2}}{2a^{2} +(b+c)^{2}}$ + $\frac{(c + a + 2b)^{2}}{2b^{2} +(c+a)^{2}}$ + $\frac{(a + b + 2c)^{2}}{2c^{2} +(a+b)^{2}} \le$ 8

Bài toán 4:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ = 3.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{4-ab} + \frac{1}{4-bc} + \frac{1}{4-ca}$ ≤ 1.

Bài toán 5 (Olympic 30/4 năm 2006):

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}} + \frac{b(c+a)}{(c+a)^{2}+b^{2}} + \frac{c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}}$ ≤ $\frac{6}{5}$.

(Cuộc thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 là một cuộc thi học sinh giỏi hàng năm dành cho học sinh khối 10 và 11 của khu vực phía Nam. Cuộc thi này do trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong sáng lập và được tổ chức lần đầu tiên vào năm 1995)

Bài toán 6:

Cho a, b, c là số dương thỏa mãn 2a + 4b + 3$c^2$ = 68. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $a^2 + b^2 + c^3$.

Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

Nguyễn Kim Sổ

Hội Toán học Hà Nội

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Ước nguyên tố của một dãy nguyên (Sưu tầm) Rất nhiều vấn đề trong Số Học liên quan đến sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố trong một dãy nguyên. Ví dụ như định lý Dirichlet, các số... 198 Lượt xem
Các dạng toán về đa thức trong đề thi học sinh giỏi toán Trung học cơ sở Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học... 2.421 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7 Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -... 2.979 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp... 6.489 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 12.997 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 12.765 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình... 12.866 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình... 12.929 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1 Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ... 12.618 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm... 12.646 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải.... 12.492 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối... 12.876 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc... 12.847 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải.... 12.745 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7 Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các... 12.843 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội... 12.736 Lượt xem

Ước nguyên tố của một dãy nguyên
(Sưu tầm) Rất nhiều vấn đề trong Số Học liên quan đến sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố trong một dãy nguyên. Ví dụ như định lý Dirichlet, các số...
198 Lượt xem

Các dạng toán về đa thức trong đề thi học sinh giỏi toán Trung học cơ sở
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
2.421 Lượt xem

Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
2.979 Lượt xem

Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
6.489 Lượt xem

Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.997 Lượt xem

Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.765 Lượt xem

Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.866 Lượt xem

Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.929 Lượt xem

Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
12.618 Lượt xem

Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.646 Lượt xem

Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.492 Lượt xem

Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.876 Lượt xem

Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.847 Lượt xem

Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.745 Lượt xem

Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.843 Lượt xem

Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.736 Lượt xem