024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI » Đại số » 

Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  11956
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất…có điều kiện. 
Để làm được đòi hỏi học sinh có kinh nghiệm, tư duy nhậy bén, tinh tế và từ điều kiện ban đầu phải thêm bớt biến đổi hợp lý để đưa về các dạng điều kiện quen biết. Đây là dạng bài khó và nếu biến đổi quá đà rất dễ dẫn đến mất phương hướng trong việc đi tìm lời giải.

Bài toán 1:
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh rằng S = $\frac{1}{ab+b+1}$ + $\frac{1}{bc+c+1}$ + $\frac{1}{ca+a+1}$ = 1.
Lời giải:
Bằng cách nhân cả tử và mẫu của các phân số trong S một cách thích hợp ta được:
S = 1/(ab + b + 1)+1/(bc + c + 1) +  1/(ca + a + 1) = 1/(ab + b + 1)+ab/(ab.bc + ab.c + ab) +  b/(b.ca + b.a + b) = 1/(ab + b + 1)+ab/(ab + b + 1) +  b/(ab + b + 1)  =  (ab + b + 1 )/(ab + b + 1) = 1.
Hoặc một cách rất tự nhiên, từ abc = 1, chúng ta đặt a = x/y; b = y/z; c = z/x khi đó:
S = 1/(x/(y )  y/z  + y/z   + 1)+1/(y/(y )  z/x  + z/x   + 1) +  1/(z/(x )  x/y  + x/y   + 1) = z/(x + y + z)+x/(x + y + z) +  y/(x + y + z) = 1.
Các bạn lưu ý đẳng thức này và cách đổi biến đặc trưng vì nó còn được dùng nhiều trong các bài tập về sau.

Bài toán 2:
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. 
Tìm GTNN của $P=(a+\frac{1}{b})^2+(b+\frac{1}{c})^2+(c+\frac{1}{a})^2$ - $3(a+b+c)$.
Lời giải:
Cách 1:
Từ giả thiết, sử dụng BĐT AM-GM ta có:
$a+b+c\ge 3$ và $ab+bc+ca\ge 3$.
$P=(a+\frac{1}{b})^2+(b+\frac{1}{c})^2+(c+\frac{1}{a})^2$ - $3(a+b+c)$ =  $(a+ca)^2+(b+ab)^2+(c+bc)^2$ - $3(a+b+c)$.
Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: 
$ P \ge \frac{(a+b+c + ab+bc+ca)^{2}}{3}$ - $3(a+b+c)$ $\ge$ $\frac{(a+b+c + 3)^{2}}{3}$ - $3(a+b+c)$ = $\frac{(a+b+c)[(a+b+c)-3]}{3} + 3 \ge 3$ 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Kết luận GTNN của P là 3.
Cách 2:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$P=\sum\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-3(a+b+c)$ $=\sum\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+4\right]-3(a+b+c)-12$ $\geq\sum4\left(a+\frac{1}{a}\right)-3(a+b+c)-12$ $=a+b+c+4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-12$ $\geq\sqrt[3]{abc}+4\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}-12=3.$

Bài toán 3: [Đề thi IMO lần thứ 36 tại Canada – năm 1995]
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1. 
Chứng minh rằng: S =  $\frac{1}{a^{3}(b+c)} + \frac{1}{b^{3}(c+a)} + \frac{1}{c^{3}(a+b)}$  ≥  3/2
Lời giải:
Ta thấy  S =  $\frac{1}{a^{3}(b+c)} + \frac{1}{b^{3}(c+a)} + \frac{1}{c^{3}(a+b)}$ = $\frac{(ab)^{2}}{bc+ca} + \frac{(bc)^{2}}{ab+ca} + \frac{(ca)^{2}}{ab+bc}$.
Sử dụng BĐT Svác-xơ ta được:
S ≥ $\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$ = $\frac{ab+bc+ca}{2}$  ≥ $\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}$ = $\frac{3}{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 4:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh rằng: S =  $\frac{1}{a^2+ 2b^2  + 3} + \frac{1}{b^2+ 2c^2  + 3}  + \frac{1}{c^2+ 2a^2  + 3}$   ≤  $\frac{1}{2}$
Gợi ý:
Dự đoán rằng: dấu  "=" xảy ra khi a = b = c = 1. Do đó phân tích $a^2+ 2b^2  + 3$ = $(a^2+ b^2)  + (b^2 + 1) + 2$. Sử dụng BĐT AM-GM và kết quả bài toán 1 ở trên để suy ra kết quả.

Bài toán 5: [Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPH Hà Nam 2020 – 2021]
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh rằng: S = $ \frac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3} + \frac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3} + \frac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}$  ≤   $\frac{1}{2}$.
Gợi ý:
Đặt ẩn phụ một cách hợp lý để quy về bài toán số 4 nêu trên.

Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Hà Nội

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.834 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.835 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
5.686 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.409 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.106 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.213 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.186 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
11.956 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.017 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.070 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng  và ứng dụng
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.162 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.101 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.085 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.295 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.060 Lượt xem