Bài toán 1. Cho đa thức P(x) có các hệ số nguyên, biết rằng P(0) và P(1) đều là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng P(x) không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn:
Giả sử P(x) có nghiệm nguyên x = a, khi đó ta viết P(x) dưới dạng P(x) = (x - a). Q(x) trong đó Q(x) cũng là một đa thức hệ số nguyên.
Ta có P(0) = –a.Q(a) là số lẻ ⇒ a là số lẻ
P(1) = (1 – a)Q(1) là số lẻ ⇒ 1 – a là số lẻ ⇒ a là số chẵn. Mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử phản chứng là sai, nghĩa là P(x) không có nghiệm nguyên.
Bài toán được chứng minh.
Bài toán 2. Cho P(x) là một đa thức hệ số nguyên có nghiệm là 2 + $\sqrt{3}$. Chứng minh rằng P( 2 – $\sqrt{3}$) = 0.
Hướng dẫn:
- Trường hợp P(x) ≡ 0 (đồng nhất đa thức 0) thì hiển nhiên bài toán đúng.
- Trường hợp P(x) là đa thức bậc 1: P(x) = ax + b (a, b ∈ Z, a ≠ 0 ) thì không thể nhận 2 + √3 là nghiệm. Vì nếu ngược lại, khi đó a(2 + $\sqrt{3}$) + b = 0 ⇒ $\sqrt{3}$ = (-b - 2a)/a ∈ Z (vô lý)
- Trường hợp P(x) có bậc ≥ 2, khi đó ta biểu diễn P(x) = ($x^{2}$ – 4x + 1)Q(x) + mx + n, với Q(x) là đa thức hệ số hữu tỷ và m, n là các số hữu tỉ.
Do P( 2 + $\sqrt{3}$) = 0 ⇒ m(2 + $\sqrt{3}$) + n = 0 ⇒ m = n = 0.
Suy ra P(x) = ($x^{2}$ – 4x + 1)Q(x), rõ ràng 2 – $\sqrt{3}$ là nghiệm của đa thức $x^{2}$ – 4x + 1 nên P(2 – $\sqrt{3}$) = 0.
Bài toán được chứng minh.
Bài toán 3. Cho P(x) là 1 đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn: P(2).P(3).P(4) = 154. Chứng minh rằng đa thức P(x) không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn:
Giả sử P(x) có nghiệm nguyên x = a, khi đó P(x) = (x – a)Q(x) với Q(x) là đa thức có hệ số nguyên.
Từ P(2).P(3).P(4) = 154 ⇒ (2 – a)(3 – a)(4 – a)Q(2)Q(3)Q(4) = 154
Dễ thấy (2 – a)(3 – a)(4 – a) ≡ 0 (mod 3), 154 ≡ 1(mod 3) mâu thuẫn
Bài toán được chứng minh.
Bài toán 4. Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn P(2012) = P(2013) = P(2014) = 2013. Chứng minh rằng đa thức P(x) – 2014 không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn:
Giả sử P(x) – 2014 có nghiệm nguyên x = a, khi đó P(x) – 2014 = (x – a)Q(x) với Q(x) là đa thức có hệ số nguyên.
Suy ra (2012 – a)Q(2012) = 1; (2013 – a)Q(2013) = 1 và (2014 – a)Q(2014) = 1
Suy ra 2012 – a; 2013 – a và 2014 – a đều là các số nguyên lẻ (mâu thuẫn).
Bài toán được chứng minh.
Bài toán 5. Giả sử P (x) là 1 đa thức với hệ số nguyên và không có số nào trong các số P(0), P(2), ..., P(2015) chia hết cho 2016. Cho đa thức thức P(x) không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn:
Giả sử P(x) có nghiệm nguyên x = a, khi đó P(x) = (a – x)Q(x) với Q(x) là đa thức có hệ số nguyên.
Khi đó P(0) = aQ(0); P(1) = (a – 1)Q(1); P(2) = (a – 2)Q(2); …; P(2015) = (a – 2015)Q(2015).
Vì a, a – 1; a – 2; …; a – 2015 là 2016 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn phải tồn tại một số chia hết cho 2016, chẳng hạn đó là a – i (0 ≤ i ≤ 2015). Khi đó P(i) = (a – i)Q(i); chia hết cho 2016, mâu thuẫn!
Bài toán được chứng minh.
Bài toán 6. Cho P(x) là 1 đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn: P(1) = 2017, P(2) = 2016, ..., P(2017) = 1, P(0) = 1 tính giá trị của P(2018).
Hướng dẫn:
Gọi Q(x) là đa thức được xác định bởi Q(x) = P(x) + x – 2018
Ta dễ thấy Q(1) = Q(2) = … = Q(2017) = 0.
Do P(x) là đa thức bậc 2017 ⇒ Q(x) cũng là đa thức bậc 2017 và có 2017 nghiệm x = 1; x = 2; ….; x = 2017 nên Q(x) phải được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = a(x – 1)(x – 2)…(x – 2017) .
Suy ra P(x) + x – 2018 = a(x – 1)(x – 2)…(x – 2017). Từ P(0) = 1
⇒ –2017 = a(–1)(–2)…(–2017)
⇒ a = $\frac{1}{2016!}$
Khi đó P(x) = 1/2016! (x – 1)(x – 2)…(x – 2017) – x + 2018
Với x = 2018 ta được P(2018) = $\frac{1}{2016!}$ (2018 – 1)( 2018 – 2)…( 2018 – 2017) – 2018 + 2018 = $\frac{2017!}{2016!}$ = 2017.
Bài toán 7. Cho đa thức f(x) = $x^{2}$ + px + q với p; q thuộc Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f(k) = f(2008).f(2009).
Hướng dẫn:
Ta có f(f(x) + x) = $(f(x) + x)^{2}$ + p(f(x) + x) + q
= $[f(x)]^{2}$ + 2xf(x) + $x^{2}$ + pf(x) + px + q = $[f(x)]^{2}$ + 2xf(x) + pf(x) + $x^{2}$ + px + q
= $[f(x)]^{2}$ + 2xf(x) + pf(x) + f(x) = f(x)[f(x) + 2x + p + 1] = f(x)[ $x^{2}$ + px + q + 2x + p + 1]
= f(x)[ ($x^{2}$ + 2x + 1) + p(x + 1) + q] = f(x).f(x + 1)
Đặc biệt với x = 2008 ta được:
f(f(2008) + 2008) = f(2008).f(2009), nghĩa là ta chọn k = f(2008) + 2008 hay k = $2008^{2}$ + p2008 + q + 2008.
Bài toán 8. Cho đa thức P(x) = $x^{4}$ + a$x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d (a, b, c, d ∈ R).
Biết rằng P(–1) = 100; P(–2) = 200; P(–3) = 300.
Tính giá trị biểu thức A = $\frac{P(10) + P(–14)}{8}$ – 3309
Hướng dẫn:
Xét đa thức Q(x) = P(x) + 100x, khi đó Q(x) có 3 nghiệm x = –1; x = –2; x = –3. Do đó Q(x) phân tích dưới dạng Q(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x - r).
Suy ra P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x – r) – 100x
Bài toán 9. Cho P (x) là một đa thức có bậc 2017 thỏa mãn P (k) = k / (k + 1), với k = 0; 1; 2; ...; 2017. Tính P (2018).
Hướng dẫn:
Gọi Q(x) là đa thức xác định bởi Q(x) = (x + 1)P(x) – x
Khi đó dễ thấy Q(0) = Q(1) = … = Q(2017) = 0
Vì P(x) bậc 2017 nên Q(x) có bậc 2018, kết hợp với Q(x) có 2018 nghiệm nên Q(x) có thể phân tích được dưới dạng Q(x) = ax(x – 1)(x – 2)…(x – 2017)
Khi đó (x + 1)P(x) – x = ax(x – 1)(x – 2)…(x – 2017)
Cho x = –1 ta thu được: 1 = a(– 1)(– 2)…(–2018) ⇒ a = 1/2018!
Suy ra (x + 1)P(x) – x = 1/2018!x(x – 1)(x – 2)…(x – 2017)
Cho x = 2018 ta thu được:
2019P(2018) – 2018 = 1/2018!2018(2018 – 1)( 2018 – 2)…( 2018 – 2017) = 1
⇒ P(2018) = 1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài toán 299[7–8]. [Đề thi Olympic lớp 7 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2020 – 2021]
Cho đa thức P(x) = a$x^{2}$ + bx + c (a ∈ N*) thỏa mãn P(9) – P(6) = 2019. Chứng minh rằng P(10) – P(7) là số lẻ.
Bài toán 301[7–8]. Cho đa thức P(x) = $x^{4}$ + a$x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d (a, b, c, d ∈ R).
Biết rằng P(1) = 10; P(2) = 20; P(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A = (P(12) + P(-8))/2023
Bài toán 302[7–8]. [Đề thi Olympic lớp 7 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2017 – 2018]
Cho đa thức P(x) = 2005$x^{2}$ + bx + c (b, c ∈ Z) .
Tìm b, c biết (x – 2016)P(x – 2017) = (x – 2018)P(x – 2019) với mọi x
Bài toán 304[7–8]. [Đề thi vô địch CHDC Đức – Vòng 3, 1979]
Cho đa thức P(x) là đa thức xác định với mọi x và thỏa mãn x . P(x + 2 ) = ( $x^{2}$ – 9 )P(x).
Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất 3 nghiệm.
Bài toán 305[7–8]. Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện (x – 1).f(x)= (x + 4).f(x + 8) . Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố.
Bài toán 306[7–8]. [Đề thi Olympic lớp 7 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2016 – 2017]
a) Xác định đa thức P(x) = a$x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d biết P(0)= 2017; P(1) = 2; P(–1) = 6 và P(2) = – 6033.
b) Cho đa thức f(x) thỏa mãn ($x^{2}$ – 5x).f(x – 2)=($x^{2}$ – 3x + 2).f(x + 1) với mọi x. Chứng tỏ rẳng đa thức f(x) có ít nhất 4 nghiệm.
Bài toán 307[7–8]. Giả sử P(x) = $x^{5}$ – 6$x^{3}$ + $x^{2}$ + 9x – 3 có 5 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4, x5 . Xét đa thức Q(x) = $x^{2}$ – 2. Tính giá trị biểu thức F = Q(x1). Q(x2). Q(x3). Q(x4). Q(x5).
Bài toán 308[7–8]. Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn P(2012) = P(2013) = P(2014) = 2013. Chứng minh rằng đa thức P(x) – 2014 không có nghiệm nguyên.
Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam