024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI » Đại số » 

Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12018
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất…có điều kiện. 
Để làm được đòi hỏi học sinh có kinh nghiệm, tư duy nhậy bén, tinh tế và từ điều kiện ban đầu phải thêm bớt biến đổi hợp lý để đưa về các dạng điều kiện quen biết. Đây là dạng bài khó và nếu biến đổi quá đà rất dễ dẫn đến mất phương hướng trong việc đi tìm lời giải.

Bài toán 1: [Đề kiểm tra kiến thức Toán lớp 9 – Đợt 1 – chuyên ĐHKHTN 2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 2 + a + b + c = abc. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =  $\frac{a^3  + b^3  +c^3}{ab+bc+ca}$.
Lời giải:
Từ dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2, áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 4 số ta được:
abc = 2 + a + b + c ≥ 4$\sqrt[4]{2abc}$ ⇒ abc ≥ 8 ⇒ a + b + c ≥ 6. 
Mặt khác, vì vai trò của a, b, c như sau nên không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ $a^2 ≤ b^2 ≤ c^2$. Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta được:
$(a + b + c)( a^2 + b^2 + c^2)$ ≤ $3(a^3 + b^3 + c^3)$ ⇒ $a^3 + b^3 + c^3$ ≥ $2(a^2 + b^2 + c^2)$.
Sử dụng bất đẳng thức cơ bản $a^2 + b^2 + c^2$ ≥ ab + bc + ca ⇒ $a^3 + b^3 + c^3$ ≥ 2(ab + bc + ca).
Từ đó S  ≥ 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 2.
Hoặc chúng ta có thể làm như sau:
Từ 2 + a + b + c = abc suy ra $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$ = 1.
Đến đây ta biến đổi một chút và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$(a+b+c)^{2}$ = $\left( \frac{1}{\sqrt{1+a}}a\sqrt{1+a}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}b\sqrt{1+b} + \frac{1}{\sqrt{1+c}}c\sqrt{1+c}  \right)^{2}$ ≤ ($\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$)$[a^2(1+a) + b^2(1+b) + c^2(1+c)]$ = $a^3+ b^3+ c^3 + a^2+ b^2+ c^2$.
Hay $a^3+ b^3+ c^3 ≥ 2(ab + bc + ca)$ suy ra $\frac{a^3  + b^3  +c^3}{ab+bc+ca}$ ≥ 2.
Tất nhiên còn nhiều con đường, hướng đi khác từ điều kiện hay và rất đặc biệt này. Bạn đọc có thể tự mình khai phá thêm hoặc xem TẠI ĐÂY.

Bài toán 2:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + abc = ab + bc + ca + 5.
Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2 ≥ 6$.
Lời giải:
Từ giả thiết ta có a + b + c + abc = ab + bc + ca + 5 ⇒ (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 4.
Do đó trong 3 số a - 1, b - 1, c - 1 phải có ít nhất 1 số dương, ta giả sử đó là a - 1.
Khi đó (b - 1)(c - 1) > 0.
Vì $b^{2} + 1 \ge \frac{(b-1)^{2}}{2}$, $c^{2} + 1 \ge \frac{(c-1)^{2}}{2}$ và $a^{2}\ge 4a - 4$ suy ra:
$a^2+b^2+c^2$ ≥ $4a - 4 + \frac{(b-1)^{2}}{2} + \frac{(c-1)^{2}}{2} - 2$ ≥ 4(a - 1) + (b - 1)(c - 1) - 2 ≥ 2$\sqrt{4(a-1)(b-1)(c-1)}$ - 2 = 6.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 2; b = c = -1 và các hoán vị.

Bài toán 3:   
Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn a + b + c = 100.  Tìm GTLN của biểu thức A = abc.
Lời giải:
Cách 1:
Chúng ta dựa vào nhận xét: Nếu các số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi các số đó bằng nhau hoặc gần bằng nhau.
Không giảm tính tổng quát, có thể giả sử a ≤ b ≤ c. Khi đó 100 = a + b + c ≤ 3c ⇒ c ≥ 100/3. Vì a nguyên ⇒ c ≥ 34.
Từ đó 34.34.33S = 34a.34b.33c ≤ $\left( \frac{34a + 34b + 33c}{3} \right)^{3}$ = $\left( \frac{3400 - c}{3} \right)^{3}$ ≤ $\left( \frac{3400 - 34}{3} \right)^{3}$.
Suy ra S ≤ 37026.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 33; b = 33; c = 34 và các hoán vị.
Vậy GTLN của A là 37026.

Cách 2(Leonguyen - VMF):
Giả sử $x$ là số lớn nhất trong ba số trên, suy ra được $x\geq\frac{100}{3}$ $\Rightarrow x\geq 34$ (do $x$ là số nguyên dương). (Từ đây ta đoán được dấu bằng xảy ra khi $x=34,$ $y=z=33$).
Áp dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta có:
$A=xyz\leq\frac{1}{4}x(y+z)^2$ = $\frac{1}{4}x(100-x)^2$ = $\frac{34}{33}\cdot\left(\frac{33x}{34}\cdot\frac{100-x}{2}\cdot\frac{100-x}{2}\right)$ $\leq \frac{34}{33}\cdot\frac{1}{27}\left(\frac{33x}{34}+\frac{100-x}{2}+\frac{100-x}{2}\right)^3$ $=\frac{34}{891}\left(100-\frac{x}{34}\right)^3$ $\leq\frac{34}{891}\left(100-\frac{34}{34}\right)^3$ = 37026.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix} y=z \\ \dfrac{33x}{34}=\dfrac{100-x}{2} \\ x=34 \end{matrix}\right. $ $\Leftrightarrow x=34,y=z=33.$
Vậy $\max A=37026$ $\Leftrightarrow (x,y,z)$ = $(34,33,33)$ và các hoán vị.

Bài toán 4:
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = 6.
Chứng minh: $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}$ ≥ 3.
Lời giải:
Trước hết ta sẽ chứng minh $a^2 + b^2 + c^2$ ≥ 3.
Thật vậy: a + b + c + ab + bc + ca = 6 ⇒ 2a + 2b + 2c + 2(ab + bc + ca) = 12.
Sử dụng các BĐT cơ bản $a^2 +1 ≥ 2a$, $b^2 +1 ≥ 2b$, $c^2 +1 ≥ 2c$ và $a^2 + b^2 + c^2$ ≥ ab + bc + ca ⇒  $a^2 +1 + b^2 +1 + c^2 +1 + 2(a^2 + b^2 + c^2)$ ≥ 12 ⇒ $a^2 + b^2 + c^2$ ≥ 3.
Quay trở lại bài toán, sử dụng BĐT Svác-xơ ta có:
$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}$ = $\frac{a^{4}}{ab}+\frac{b^{4}}{bc}+\frac{c^{4}}{ca}$ ≥  $\frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}{ab+bc+ca}$ = $(a^{2} + b^{2} + c^{2}). \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{ab+bc+ca}$ ≥  $a^2 + b^2 + c^2$  ≥ 3.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 5: [Đề kiểm tra kiến thức Toán lớp 9 – THCS & THPH AMSTERDAM 2022-2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 4. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =  $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$.


Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.834 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.835 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
5.686 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.409 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.106 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.213 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.186 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
11.956 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.018 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.070 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng  và ứng dụng
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.162 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.101 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.085 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.295 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.060 Lượt xem