024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI » Đại số » 

Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  12499
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu chuẩn bị kỹ càng từ kiến thức đến lộ trình ôn thi bài bản thì các em có thể vượt qua kì thi một cách dễ dàng hơn.
Câu IV(toán điều kiện): 
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = $x\sqrt{\frac{7y}{3x+4z}}$+$y\sqrt{\frac{7z}{3y+4x}}$+$z\sqrt{\frac{7x}{3z+4y}}$
Lời giải:
Ta biến đổi P = $\sqrt{7xy}\sqrt{\frac{x}{3x+4z}}$+$\sqrt{7yz}\sqrt{\frac{y}{3y+4x}}$+$\sqrt{7zx}\sqrt{\frac{z}{3z+4y}}$.
Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ra được:
$P^{2} \le $$7(xy+yz+zx)$$\left( \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y} \right)$
Đặt S =  $\frac{x}{3x+4z}$+$\frac{y}{3y+4x}$+$\frac{z}{3z+4y}$, đến đây ta thấy có một cái gì đó gần giống với kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng đã được chúng tôi giới thiệu ở các bài giảng trước.
3S = 3 $-\left( \frac{4x}{4x+3y}+\frac{4y}{4y+3z}+\frac{4z}{4z+3x} \right)$ = 3 $-\left( \frac{4x^2}{4x^2+3xy}+\frac{4y^2}{4y^2+3yz}+\frac{4z^2}{4z^2+3zx} \right)$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
$\frac{4x^2}{4x^2+3xy}+\frac{4y^2}{4y^2+3yz}+\frac{4z^2}{4z^2+3zx}$ $\ge \frac{4(x+y+z)^{2}}{3(xy+yz+zx) +4(x^2+y^2+z^2)}$ = $\frac{4}{3(xy+yz+zx) +4(x^2+y^2+z^2)}$
Từ giả thiết x + y + z = 1 $\Rightarrow$ xy + yz + zx $\le \frac{1}{3}$. 
Sử dụng Cauchy-Schwarz một lần nữa: 
$\frac{4}{3(xy+yz+zx) +4(x^2+y^2+z^2)}$ + $\frac{3}{7(xy+yz+zx)}$ = $\frac{16}{12(xy+yz+zx) +16(x^2+y^2+z^2)}$ + $\frac{9}{21(xy+yz+zx)}$ $\ge \frac{49}{33(xy+yz+zx)+16(x^2+y^2+z^2)}$
= $\frac{49}{xy+yz+zx+16}\ge 3$.
Suy ra  $\frac{4x}{4x+3y}+\frac{4y}{4y+3z}+\frac{4z}{4z+3x}$ + $\frac{3}{7(xy+yz+zx)} \ge 3$
$\Rightarrow$ $S \le \frac{1}{7(xy+yz+zx)}$ $\Rightarrow$ $P^{2} \le 1$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1/3.
Vậy kết luận GTLN của P là 1.

Câu IV(toán chuyên): 
Cho đa giác đều 2024 cạnh. Mỗi đỉnh của đa giác viết 1 số nguyên. Biết rằng mỗi số được viết lớn hơn tổng 2 số trên 2 đỉnh trước nó(tính theo chiều kim đồng hồ). Hỏi có thể có tối đa bao nhiêu số nguyên dương được viết trên các đỉnh của đa giác trên.
Lời giải:
Bằng cách ký hiệu các số đã viết là $a_{0}, a_{1},...,a_{2023}$ khi đó:
Trong 2024 số đã viết không thể tồn tại 2 số liên tiếp không âm(*):
Thật vậy, giả sử tồn tại chỉ số k sao mà $a_{k}, a_{k+1}$ đều không âm, khi đó: $a_{k+2}\gt  $ $a_{k+1} + a_{k}$ $\Rightarrow$ $a_{k+2}\gt  a_{k+1}\ge 0$ (quy ước $a_{i+2024} = a_{i}$). Làm tương tự sẽ dẫn đến $a_{k+1} \lt a_{k+2} \lt$ $...$ $\lt a_{k+2025} =a_{k+1}$. Mâu thuẫn!
Trong 2024 số đó nếu có 1 số không âm, ta có thể giả sử đó là $a_{0}$(nếu không như vậy thì ta thực hiện đánh lại chỉ số). Bằng cách chia thành 1012 cặp ($a_{0}, a_{1}$), ($a_{2}, a_{3}$),...,($a_{2022}, a_{2023}$), khi đó theo (*) thì trong các cặp đó, mỗi cặp có không quá 1 số không âm. Vì vậy số các số dương không thể vượt quá 1012 số.
Để đạt được 1012 số dương thì trong mỗi cặp đó phải có 1 và chỉ 1 số dương, ta thấy rằng:
Nếu có một chỉ số chẵn nào đó chẳng hạn $a_{2k} \lt 0$ $\Rightarrow$  $a_{2k+1} \gt 0$ $\Rightarrow$  $a_{2k+3} \gt 0$ ... $\Rightarrow$  $a_{2023} \gt 0$, điều này không thể vì khi đó $a_{0}$ và  $a_{2023}$ là 2 số liên tiếp không âm.
Như thế nghĩa là $a_{0}, a_{2},...,a_{2022}$ đều phải dương. 
Khi đó $a_{3}\gt a_{2}+a_{1} \Rightarrow a_{3} \gt a_{1}$, $a_{5}\gt a_{4}+a_{3} \Rightarrow a_{5} \gt a_{3}$,..., $a_{1}\gt a_{2023}+a_{0} \Rightarrow a_{1} \gt a_{2023}$ nghĩa là $a_{1} \lt a_{3}\lt ...\lt a_{2023} \lt a_{1}$. Mâu thuẫn!
Có thể kiểm định bộ số $-4047, 1, -4045, 1, -4043,$...$,1, -2025, -2023$ là bộ thỏa mãn yêu cầu bài ra và có chứa 1011 số dương.
Vậy số các số dương tối đa có thể có là 1011.


Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam


Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.955 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.967 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
6.081 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.499 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.202 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.324 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.321 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
12.051 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.104 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.181 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng  và ứng dụng
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.274 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.251 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.191 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.424 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.151 Lượt xem