Khai thác từ điều kiện bài toán a + b + c + 2 = abc

Đánh giá bài giảng
Số lần xem 12139

Như tôi đã trình bày trong bài giảng trước. Những bài toán liên quan đến biến đổi cơ bản này rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất…có điều kiện.

Để làm được đòi hỏi học sinh phải có kinh nghiệm, tư duy nhậy bén, tinh tế và sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức cơ bản, các biến đổi cơ bản. Đây là dạng bài khó và nếu biến đổi quá đà rất dễ dẫn đến mất phương hướng trong việc đi tìm lời giải.

Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

Bài toán 1:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 + a + b + c = abc.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$ = 1.

Lời giải:

Bằng cách thêm bớt hạng tử 2 vế của điều kiện bài ra ta có:

2 + a + b + c = abc ⇒ (1 + a + b + ab) + (1 + b + c + bc) + (1 + c + a + ca) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ⇒ (1 + a)(1 + b) + (1 + b)(1 + c) + (1 + ac)(1 + a) = (1 + a)(1 + b)(1+ c).

Vì a, b, c > 0 nên (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≠ 0, chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho (1 + a)(1 + b)(1 + c) ta thu được: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$ = 1, bài toán được chứng minh.

Bài toán 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 + a + b + c = abc.

1. Chứng minh rằng a + b + c ≥ 6.

2. Chứng minh rằng a.b.c ≥ 8.

Lời giải:

Từ dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2, áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 4 số ta được:

abc = 2 + a + b + c ≥ 4$\sqrt[4]{2abc}$ ⇒ abc ≥ 8 ⇒ a + b + c ≥ 6. Tất nhiên còn nhiều con đường, hướng đi khác từ điều kiện hay và rất đặc biệt này. Bạn đọc có thể tự mình khai phá thêm hoặc đọc trong file đính kèm.

Lời bình:

Từ bài toán trên chúng ta thấy rằng: bằng cách biến đổi linh hoạt các hằng đẳng thức(mở rộng) kết hợp với phương pháp xét dấu và các bất đẳng thức cổ điển(Cauchy, Bunhiacopxki, Svác-xơ) đã tạo ra nhiều hướng đi khác nhau để giải quyết vấn đề và cũng từ sự phân tích biểu thức a + b + c + 2 = abc theo các cách trên sẽ là chìa khóa giúp học sinh giải được một lớp các bài toán liên quan đến điều kiện đặc trưng này!

Đặc biệt lưu ý:

Từ 2 + a + b + c = abc ta khó có thể tìm ra sự tương quan giữa a, b, c nhưng sau khi đã biến đổi về 1/( 1 + a) + 1/(1 + b) + 1/(1 + c) = 1 ta có thể đặt a = (y + z)/x; b = (z + x)/y; c = (x + y)/z. Đây là cách rất hữu hiệu để giải các bài toán bất đẳng thức sau này với điều kiện tương tự.

Bài toán 3 [Đề kiểm tra kiến thức Toán lớp 9 – Đợt 1 – chuyên ĐHKHTN 2023]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 2 + a + b + c = abc.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = $\frac{a^3 + b^3 +c^3}{ab+bc+ca}$.

Lời giải:

Từ 2 + a + b + c = abc suy ra $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$ = 1.

Đến đây ta biến đổi một chút và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$(a+b+c)^{2}$ = $\left( \frac{1}{\sqrt{1+a}}a\sqrt{1+a}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}b\sqrt{1+b} + \frac{1}{\sqrt{1+c}}c\sqrt{1+c} \right)^{2}$ ≤ ($\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$)$[a^2(1+a) + b^2(1+b) + c^2(1+c)]$ = $a^3+ b^3+ c^3 + a^2+ b^2+ c^2$.

Hay $a^3+ b^3+ c^3 ≥ 2(ab + bc + ca)$ suy ra $\frac{a^3 + b^3 +c^3}{ab+bc+ca}$ ≥ 2.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.

Kết luận GTNN của S là 2.

Bài toán 4:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2 = abc.

Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a}$ ≥ 2.

Bài toán 5:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 + a + b + c = abc.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = $\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} +\frac{1}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}$.

Bài toán 6:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2 = abc.

Chứng minh rằng: $2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})$ ≤ a + b + c + 6.

Bài toán 7:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2 = abc.

Chứng minh rằng: $\frac{a+2}{\sqrt{6(a^{2}+2)}} + \frac{b+2}{\sqrt{6(b^{2}+2)}} + \frac{c+2}{\sqrt{6(c^{2}+2)}}$ ≤ 2.

Chi tiết tài liệu các em học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

Nguyễn Kim Sổ

Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học... 1.713 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7 Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -... 1.715 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp... 2.115 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 12.299 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 11.992 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình... 12.097 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình... 12.060 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1 Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ... 11.854 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm... 11.908 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải.... 11.962 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối... 12.038 Lượt xem
Khai thác từ điều kiện bài toán a + b + c + 2 = abc Như tôi đã trình bày trong bài giảng trước. Những bài toán liên quan đến biến đổi cơ bản này rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các... 12.139 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc... 11.930 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải.... 11.972 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7 Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các... 12.176 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội... 11.946 Lượt xem

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.713 Lượt xem

Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.715 Lượt xem

Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
2.115 Lượt xem

Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.299 Lượt xem

Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
11.992 Lượt xem

Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.097 Lượt xem

Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.060 Lượt xem

Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
11.854 Lượt xem

Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
11.908 Lượt xem

Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
11.962 Lượt xem

Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.038 Lượt xem

Khai thác từ điều kiện bài toán a + b + c + 2 = abc
Như tôi đã trình bày trong bài giảng trước. Những bài toán liên quan đến biến đổi cơ bản này rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các...
12.139 Lượt xem

Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
11.930 Lượt xem

Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
11.972 Lượt xem

Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.176 Lượt xem

Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
11.946 Lượt xem