024 6680 9640
TOANHOC VIETNAM BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI » Đại số » 

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông

Đánh giá bài giảng
Số lần xem  1908
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức ra thừa số, dùng sơ đồ Horner để chia đa thức, giải các phương trình đại số... 
Bài giảng này sẽ hệ thống hoá lại những kiến thức cơ bản nhất về đa thức 1 biến, các dạng toán thường gặp về đa thức.
Bài toán 1. Cho đa thức P(x) có các hệ số nguyên, biết rằng P(0) và P(1) đều là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng P(x) không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn: 
Giả sử P(x) có nghiệm nguyên x = a, khi đó ta viết P(x) dưới dạng P(x) = (x - a). Q(x) trong đó Q(x) cũng là một đa thức hệ số nguyên.
Ta có P(0) = –a.Q(a) là số lẻ ⇒ a là số lẻ
 P(1) = (1 – a)Q(1) là số lẻ ⇒ 1 – a là số lẻ ⇒ a là số chẵn. Mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử phản chứng là sai, nghĩa là P(x) không có nghiệm nguyên. 
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 2. Cho P(x) là một đa thức hệ số nguyên có nghiệm là 2 + $\sqrt{3}$. Chứng minh rằng P( 2 – $\sqrt{3}$) = 0.
Hướng dẫn:
- Trường hợp P(x) ≡ 0 (đồng nhất đa thức 0) thì hiển nhiên bài toán đúng.
- Trường hợp P(x) là đa thức bậc 1: P(x) = ax + b (a, b ∈ Z, a ≠ 0 ) thì không thể nhận 2 + √3 là nghiệm. Vì nếu ngược lại, khi đó a(2 + $\sqrt{3}$) + b = 0 ⇒ $\sqrt{3}$ = (-b - 2a)/a ∈ Z (vô lý)
- Trường hợp P(x) có bậc ≥ 2, khi đó ta biểu diễn P(x) = ($x^{2}$ – 4x + 1)Q(x) + mx + n, với Q(x) là đa thức hệ số hữu tỷ và m, n là các số hữu tỉ.
Do P( 2 + $\sqrt{3}$) = 0 ⇒ m(2 + $\sqrt{3}$) + n = 0 ⇒ m = n = 0.
Suy ra P(x) = ($x^{2}$ – 4x + 1)Q(x), rõ ràng 2 – $\sqrt{3}$ là nghiệm của đa thức $x^{2}$ – 4x + 1 nên P(2 – $\sqrt{3}$) = 0. 
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 3. Cho P(x) là 1 đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn: P(2).P(3).P(4) = 154. Chứng minh rằng đa thức P(x) không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn:
Giả sử P(x) có nghiệm nguyên x = a, khi đó P(x) = (x – a)Q(x) với Q(x) là đa thức có hệ số nguyên.
Từ P(2).P(3).P(4) = 154 ⇒ (2 – a)(3 – a)(4 – a)Q(2)Q(3)Q(4) = 154
Dễ thấy (2 – a)(3 – a)(4 – a) ≡ 0 (mod 3), 154 ≡ 1(mod 3) mâu thuẫn
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 4. Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn P(2012) = P(2013) = P(2014) = 2013. Chứng minh rằng đa thức P(x) – 2014 không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn:
Giả sử P(x) – 2014 có nghiệm nguyên x = a, khi đó P(x) – 2014 = (x – a)Q(x) với Q(x) là đa thức có hệ số nguyên.
Suy ra   (2012 – a)Q(2012) = 1; (2013 – a)Q(2013) = 1 và (2014 – a)Q(2014) = 1
Suy ra 2012 – a; 2013 – a và 2014 – a đều là các số nguyên lẻ (mâu thuẫn).
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 5. Giả sử P (x) là 1 đa thức với hệ số nguyên và không có số nào trong các số P(0), P(2), ..., P(2015) chia hết cho 2016. Cho đa thức thức P(x) không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn: 
Giả sử P(x) có nghiệm nguyên x = a, khi đó P(x) = (a – x)Q(x) với Q(x) là đa thức có hệ số nguyên. 
Khi đó P(0) = aQ(0); P(1) = (a – 1)Q(1); P(2) = (a – 2)Q(2); …; P(2015) = (a – 2015)Q(2015). 
Vì a, a – 1; a – 2; …; a – 2015 là 2016 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn phải tồn tại một số chia hết cho 2016, chẳng hạn đó là a – i (0 ≤ i ≤ 2015). Khi đó P(i) = (a – i)Q(i);  chia hết cho 2016, mâu thuẫn!
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 6. Cho P(x) là 1 đa thức có hệ số nguyên thỏa mãn: P(1) = 2017, P(2) = 2016, ..., P(2017) = 1, P(0) = 1 tính giá trị của P(2018).
Hướng dẫn: 
Gọi Q(x) là đa thức được xác định bởi Q(x) = P(x) + x – 2018
Ta dễ thấy Q(1) = Q(2) = … = Q(2017) = 0.
Do P(x) là đa thức bậc 2017 ⇒ Q(x) cũng là đa thức bậc 2017 và có 2017 nghiệm x = 1; x = 2; ….; x = 2017 nên Q(x) phải được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = a(x – 1)(x – 2)…(x – 2017) .
Suy ra P(x) + x – 2018 = a(x – 1)(x – 2)…(x – 2017). Từ P(0) = 1 
⇒ –2017 = a(–1)(–2)…(–2017)
⇒ a = $\frac{1}{2016!}$
Khi đó P(x) = 1/2016! (x – 1)(x – 2)…(x – 2017) – x + 2018
Với x = 2018 ta được P(2018) = $\frac{1}{2016!}$ (2018 – 1)( 2018  – 2)…( 2018  – 2017) – 2018 + 2018 = $\frac{2017!}{2016!}$ = 2017.

Bài toán 7. Cho đa thức f(x) = $x^{2}$ + px + q với p; q thuộc Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f(k) = f(2008).f(2009).
Hướng dẫn: 
Ta có f(f(x) + x) = $(f(x) + x)^{2}$ + p(f(x) + x) + q 
=  $[f(x)]^{2}$ + 2xf(x) + $x^{2}$ + pf(x) + px + q =  $[f(x)]^{2}$ + 2xf(x) + pf(x) + $x^{2}$ + px + q
= $[f(x)]^{2}$ + 2xf(x) + pf(x) + f(x) = f(x)[f(x) + 2x + p + 1] = f(x)[ $x^{2}$ + px + q + 2x + p + 1]
= f(x)[ ($x^{2}$ + 2x + 1) + p(x + 1) + q] = f(x).f(x + 1)
Đặc biệt với x = 2008 ta được:
f(f(2008) + 2008) = f(2008).f(2009), nghĩa là ta chọn k = f(2008) + 2008 hay k = $2008^{2}$ + p2008 + q + 2008.

Bài toán 8. Cho đa thức P(x) = $x^{4}$ + a$x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d (a, b, c, d ∈ R).
Biết rằng P(–1) = 100; P(–2) = 200; P(–3) = 300. 
Tính giá trị biểu thức A = $\frac{P(10)  + P(–14)}{8}$ – 3309
Hướng dẫn: 
Xét đa thức Q(x) = P(x) + 100x, khi đó Q(x) có 3 nghiệm x = –1; x = –2; x = –3. Do đó Q(x) phân tích dưới dạng Q(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x - r).
Suy ra P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x – r) – 100x

Bài toán 9. Cho P (x) là một đa thức có bậc 2017 thỏa mãn P (k) = k / (k + 1), với k = 0; 1; 2; ...; 2017. Tính P (2018).
Hướng dẫn: 
Gọi Q(x) là đa thức xác định bởi Q(x) = (x + 1)P(x) – x
Khi đó dễ thấy Q(0) = Q(1) = … = Q(2017) = 0
Vì P(x) bậc 2017 nên Q(x) có bậc 2018, kết hợp với Q(x) có 2018 nghiệm nên Q(x) có thể phân tích được dưới dạng Q(x) = ax(x – 1)(x – 2)…(x – 2017)
Khi đó (x + 1)P(x) – x = ax(x – 1)(x – 2)…(x – 2017)
Cho x = –1 ta thu được: 1 = a(– 1)(– 2)…(–2018) ⇒ a = 1/2018!
Suy ra (x + 1)P(x) – x = 1/2018!x(x – 1)(x – 2)…(x – 2017)
Cho x = 2018 ta thu được:
2019P(2018) – 2018 = 1/2018!2018(2018 – 1)( 2018 – 2)…( 2018 – 2017) = 1
⇒ P(2018) = 1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài toán 299[7–8]. [Đề thi Olympic lớp 7 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2020   –  2021]
Cho đa thức P(x) = a$x^{2}$ + bx + c (a ∈ N*) thỏa mãn P(9) – P(6) = 2019. Chứng minh rằng P(10) – P(7) là số lẻ.

Bài toán 301[7–8]. Cho đa thức P(x) = $x^{4}$ + a$x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d (a, b, c, d ∈ R).
Biết rằng P(1) = 10; P(2) = 20; P(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A =  (P(12)  + P(-8))/2023

Bài toán 302[7–8]. [Đề thi Olympic lớp 7 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2017 – 2018]
Cho đa thức P(x) = 2005$x^{2}$ + bx + c (b, c ∈ Z) . 
Tìm b, c biết (x – 2016)P(x – 2017) = (x – 2018)P(x – 2019) với mọi x

Bài toán 304[7–8]. [Đề thi vô địch CHDC Đức – Vòng 3, 1979]
Cho đa thức P(x) là đa thức xác định với mọi x và thỏa mãn x . P(x + 2 ) = ( $x^{2}$ – 9 )P(x).
Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất 3 nghiệm.

Bài toán 305[7–8]. Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện (x – 1).f(x)= (x + 4).f(x + 8) . Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố.

Bài toán 306[7–8]. [Đề thi Olympic lớp 7 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2016 – 2017]
a) Xác định đa thức P(x) = a$x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d biết P(0)= 2017; P(1) = 2; P(–1) = 6 và P(2) =  – 6033.
b) Cho đa thức f(x) thỏa mãn ($x^{2}$ – 5x).f(x – 2)=($x^{2}$ – 3x + 2).f(x + 1) với mọi x. Chứng tỏ rẳng đa thức f(x) có ít nhất 4 nghiệm.

Bài toán 307[7–8]. Giả sử P(x) = $x^{5}$ – 6$x^{3}$ + $x^{2}$ + 9x – 3  có 5 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4, x5 . Xét đa thức Q(x) = $x^{2}$ – 2. Tính giá trị biểu thức F = Q(x1). Q(x2). Q(x3). Q(x4). Q(x5).

Bài toán 308[7–8]. Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn P(2012) = P(2013) = P(2014) = 2013. Chứng minh rằng đa thức P(x) – 2014 không có nghiệm nguyên.


Nguyễn Kim Sổ
Hội Toán học Việt Nam

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Các dạng toán về đa thức trong chương trình toán phổ thông
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học...
1.908 Lượt xem
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 6 - 7
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh, chúng tôi giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 -...
1.908 Lượt xem
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
Hình học tổ hợp – là một bộ phận của hình học nói chung và là một nhánh của tổ hợp. Những bài toán liên quan rất đa dạng về nội dung và phương pháp...
6.024 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt 4, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.465 Lượt xem
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Hướng dẫn giải một số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.167 Lượt xem
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Hằng đẳng thức và ứng dụng giải các phương trình vô tỉ
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.279 Lượt xem
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Sử dụng phương pháp đánh giá để giải các phương trình vô tỉ phức tạp
Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đây các bài toán về phương trình...
12.268 Lượt xem
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Những bài toán tiêu biểu với điều kiện abc = 1
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi , thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm ...
12.013 Lượt xem
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Một số bài toán có điều kiện dàng buộc đặc biệt
Đây là những bài toán rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... các năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm...
12.069 Lượt xem
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức đặc biệt
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.133 Lượt xem
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng  và ứng dụng
Kỹ thuật biến đổi Cauchy ngược hướng và ứng dụng
Bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT hoặc tìm GTNN , GTLN thường là bài cuối...
12.227 Lượt xem
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán tổ hợp
Nguyên lí Dirichlet(Gustav Lejeuve Dirichlet) khá đơn đơn giản nhưng nó là một công cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng mình nhiều kết quả sâu sắc...
12.183 Lượt xem
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Chuyên đề nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải....
12.148 Lượt xem
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Một số phương pháp tính tổng dành cho học sinh giỏi lớp 6 - 7
Để làm được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, quy tắc về dấu, nhân chia lũy thừa, quy đồng mẫu số, quy đồng tử số(ít gặp)…Trong các...
12.366 Lượt xem
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp Hệ số bất định để giải một số bài toán bất đẳng thức
Trở lại với bài toán của GS. Nguyễn Văn Mậu đưa ra trong mục 8: Phương pháp tam thức bậc 2, bài toán 8.1(tam thức bậc 2 định hướng) tại seminar Hội...
12.114 Lượt xem