Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023

Đánh giá bài giảng
Số lần xem 12220

Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài liệu để tham khảo, tập luyện và nếu chuẩn bị kỹ càng từ kiến thức đến lộ trình ôn thi bài bản thì các em có thể vượt qua kì thi một cách dễ dàng hơn.

Bản in PDF quý phụ huynh và học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI KHÓ

Câu IV(toán điều kiện): Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài các cạnh AB = DC = 4cm, AD = CB = 5cm. Cho 9 điểm phân biệt đôi một bên trong hình chữ nhật. Chứng minh rằng có tồn tại một tam giác có 3 đỉnh thuộc tập M gồm 4 đỉnh A, B, C, D và 9 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 1$cm^{2}$.

Lời giải:

Chúng ta sử dụng phương pháp phân chia hình vuông đã cho thành các tam giác có diện tích không giao nhau như sau.

Kí hiệu các điểm đã cho là A1, A2,…,A20, chọn điểm A1 chẳng hạn, khi đó hình vuông sẽ được phân thành 4 tam giác như hình vẽ.

Xét điểm A2, khi đó điểm này chỉ có thể nằm trong một tam giác bất kỳ hoặc nằm trên một cạnh nào đó cạnh A1A, A1B, A1C, A1D. Bằng cách nối như hình vẽ ta thấy trong mọi trường hợp thì số tam giác đều tăng lên 2. Thực hiện quá trình lặp tương tự với các điểm còn lại, cuối cùng ta thu được tổng số tam giác là: 4 + 2(9 – 1) = 20.

Ký hiệu diện tích các tam giác lần lượt là S1, S2,…,S20 và luôn tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Đặt đó là S, để ý rằng diện tích hình vuông ban đầu là 20 nên ta được:

20 = S1 + S2 + … + S20 ≥ 20.S ⇒ S ≤ 1.

Bài toán được chứng minh.

Câu IV(toán chuyên): Xét 20 số $1 ≤ a_{1} < a_{2} < … < a_{20} ≤ 70$ nguyên dương. Chứng minh rằng trong các hiệu $a_{k} – a_{j}$ (1 ≤ j < k ≤ 20) có ít nhất 4 số bằng nhau.

Lời giải:

Ta xét 19 số nguyên dương a20 – a19, a19 – a18, a18 – a17,…, , a2 – a1 và giả sử phản chứng rằng không có 4 số nào bằng nhau.

Ký hiệu và sắp xếp lại các số đó dưới dạng: b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ ….≤ b19.

Suy ra 1 ≤ b1 ≤ b2 ≤ b3 ⇒ 2 ≤ b4 ≤ b5 ≤ b6(vì ví dụ b4 = 1 thì b1 = b2 = b3 = b4 = 1), tương tự ⇒ 3 ≤ b7 ≤ b8 ≤ b9 ⇒ 4 ≤ b10 ≤ b11 ≤ b12 ⇒ 5 ≤ b13 ≤ b14 ≤ b15 ⇒ 6 ≤ b16 ≤ b17 ≤ b18 ⇒ 7 ≤ b19.

Khi đó b1 + b2 + b3 + …+ b19 = (b1 + b2 + b3) + (b4 + b5 + b6) +…+ (b16 + b17 + b18) + b19 ≥ 3(1 + 2 + … + 6) + 7 = 70.

Trong khi đó b1 + b2 + b3 + …+ b19 = a20 – a1 ≤ 70 – 1 = 69. Mâu thuẫn!

Vậy điều giả sử là sai, đồng nghĩa với bài toán được chứng minh.

DƯỚI ĐÂY LÀ CHI TIẾT ĐỀ THI

Đề thi vòng 1(điều kiện)

Đề thi vòng 2(toán chuyên)

Bản in PDF quý phụ huynh và học sinh có thể tải về TẠI ĐÂY.

Nguyễn Kim Sổ

Hội Toán học Hà Nội

Mời bạn đánh giá bài viết này!

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM?

Đề thi Olympic Toán quốc tế lần thứ 64 (IMO 2023 Chiba, Nhật Bản) Năm nay, kỳ thi Olympic Toán học quốc tế diễn ra tại Nhật Bản từ ngày 2 đến 13/7, trong đó 8 và 9/7 là hai ngày thi chính thức. Khoảng 600 học sinh... 12.258 Lượt xem
Tổng hợp đề thi Toán chung và Toán chuyên vào lớp 10 của Hà Nội năm 2023 - 2024 Trong hơn 10.000 học sinh đăng ký vào các lớp 10 thuộc trường chuyên, trường có lớp chuyên của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, 974 em thi chuyên Toán.... 12.338 Lượt xem
Đề thi vào lớp 10 Trường THPT chuyên Đại học Sư Phạm, năm 2023 Ngày 01/6/2023, Trường ĐHSP Hà Nội tổ chức Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT Chuyên ĐHSP năm 2023 cho 5769 thí sinh trên tổng số 6113 học sinh đăng... 12.346 Lượt xem
Đề thi vào lớp 10 Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của một số trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước cũng như các kỳ thi HSG các cấp, chúng tôi... 12.416 Lượt xem
Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt IV, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của một số trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi Đề kiểm tra kiến thức... 12.001 Lượt xem
Đề thi thử vào lớp 10 Trường THPT chuyên ĐHSP - đợt III, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 11.961 Lượt xem
Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của một số trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi Đề kiểm tra kiến thức... 12.142 Lượt xem
Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 12.220 Lượt xem
Đề thi thử vào lớp 10 Trường THPT chuyên ĐHSP - đợt II, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 11.883 Lượt xem
Đề thi thử vào lớp 10 Trường THPT chuyên ĐHSP - đợt I, năm 2023 Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài... 11.923 Lượt xem
Đề thi thử vào lớp 10 Trường THPT chuyên ĐHSP - đợt I, năm 2022 Để giúp thí sinh làm quen, rèn luyện kĩ năng, trau dồi kiến thức, tự tin chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 của các trường THPT Chuyên, trong... 11.864 Lượt xem

Đề thi Olympic Toán quốc tế lần thứ 64 (IMO 2023 Chiba, Nhật Bản)
Năm nay, kỳ thi Olympic Toán học quốc tế diễn ra tại Nhật Bản từ ngày 2 đến 13/7, trong đó 8 và 9/7 là hai ngày thi chính thức. Khoảng 600 học sinh...
12.258 Lượt xem

Tổng hợp đề thi Toán chung và Toán chuyên vào lớp 10 của Hà Nội năm 2023 - 2024
Trong hơn 10.000 học sinh đăng ký vào các lớp 10 thuộc trường chuyên, trường có lớp chuyên của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, 974 em thi chuyên Toán....
12.338 Lượt xem

Đề thi vào lớp 10 Trường THPT chuyên Đại học Sư Phạm, năm 2023
Ngày 01/6/2023, Trường ĐHSP Hà Nội tổ chức Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT Chuyên ĐHSP năm 2023 cho 5769 thí sinh trên tổng số 6113 học sinh đăng...
12.346 Lượt xem

Đề thi vào lớp 10 Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của một số trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước cũng như các kỳ thi HSG các cấp, chúng tôi...
12.416 Lượt xem

Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt IV, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của một số trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi Đề kiểm tra kiến thức...
12.001 Lượt xem

Đề thi thử vào lớp 10 Trường THPT chuyên ĐHSP - đợt III, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
11.961 Lượt xem

Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của một số trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi Đề kiểm tra kiến thức...
12.142 Lượt xem

Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
12.220 Lượt xem

Đề thi thử vào lớp 10 Trường THPT chuyên ĐHSP - đợt II, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
11.883 Lượt xem

Đề thi thử vào lớp 10 Trường THPT chuyên ĐHSP - đợt I, năm 2023
Để chuẩn bị tốt cho kỳ thi vào lớp 10 của các trường thuộc khối chuyên toán các tỉnh thành trong cả nước, chúng tôi xin gửi tới các em học sinh tài...
11.923 Lượt xem

Đề thi thử vào lớp 10 Trường THPT chuyên ĐHSP - đợt I, năm 2022
Để giúp thí sinh làm quen, rèn luyện kĩ năng, trau dồi kiến thức, tự tin chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 của các trường THPT Chuyên, trong...
11.864 Lượt xem